Ecuación Diferencial Lineal autónoma

En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuación Diferencial (ED) lineal ordinaria es autónoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.

Este es una ejercicio resuelto extraído de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).

Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal  conforme .

ANÁLISIS:

La solución de una ecuación diferencial :

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6 …………………….(1)

Es la suma de dos soluciones:

y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

Donde:

{{y}_{C}}=C{{\text{e}}^{3x}} , es la solución homogénea del (1).

{{y}_{p}}=-2 es una solución particular de la ecuación no homogénea: y'-3y=6 .

Cuando {{a}_{1}},{{a}_{0}}y gson constantes en la siguiente ecuación:

{{a}_{1}}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+{{a}_{0}}\left( x \right)y=g\left( x \right) (Ecuación diferencial de primer orden),

La ecuación diferencial es autónoma.

En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right), podemos ver que -2, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de  de C, de su solución: y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}.

Valores para C Valores de y(x)
-80 -2-80 E^(3 x)
-20 -2-20 E^(3 x)
-5 -2-5 E^(3 x)
-1 -2-E^(3 x)
-0.1 -2-0.1 E^(3 x)
-0.01 -2-0.01 E^(3 x)
-0.001 -2-0.001 E^(3 x)
-0.0001 -2-0.0001 E^(3 x)
-0.00001 -2-0.00001 E^(3 x)
0 -2
0.00001 -2+0.00001 E^(3 x)
0.0001 -2+0.0001 E^(3 x)
0.001 -2+0.001 E^(3 x)
0.01 -2+0.01 E^(3 x)
0.1 -2+0.1 E^(3 x)
1 -2+E^(3 x)
5 -2+5 E^(3 x)
20 -2+20 E^(3 x)
80 -2+80 E^(3 x)
ED autónoma

ED autónoma

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED lineal (autónoma): y'-3y=6. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de y=-2. Las curvas por arriba del punto crítico: y=-2, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal y'-3y=6, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): y=-2, se alejan de esta recta horizontal, conforme x\to \infty .

FIN DEL ANÁLISIS.

Ahora, el problema a plantear es: CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA y=4 , CONFORME x\to \infty . Sigue leyendo