Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Utilización de la Ecuación Diferencial de 1er Grado (Ecuacion Diferencial Separable)

Historias

Caída Libre: Galileo

En este artículo hablaré un poco de cómo podemos utilizar las ecuaciones de primer grado para desarrollar modelos matemáticos que representen sistemas físicos básico, con el fin de mostrar un poco el desarrollo histórico de algunos eventos para desarrollar esa visión del análisis matemático intuitivo y relacionar lo aprendido a fenómenos que nos pueden servir de referencia para aprender otros conceptos más adelante.

Resulta que en el tiempo de Galileo (siglo XVI), había la inquietud por determinar la velocidad de caída de los objetos. Habían varios eruditos entre ellos, Aristóteles, quienes creían que mientras más alto, la caída del objeto, éste caía más rápido.

Galileo quería ser más preciso y conjeturó que la velocidad de los objetos era proporcional a la altura:

v=cy,   c = constante  (Conjetura de Galileo)                            Eq. (1)

y = altura de la partícula

Galileo llegó, eventualmente a la conclusión de que esta conjetura no era absurda. En ese momento de la historia todavía no habían descubierto el Cálculo, por lo que Galileo no tenía de otra más que argumentar de manera elusiva.

Sin embargo, nosotros podemos verificar con el cálculo lo que después Galileo descubrió, que la conjetura era errada, veamos:

Tenemos:

Una partícula, en caída libre.

Dónde:

y = 0,  t = 0 como condiciones iniciales

Ahora, sabemos que la velocidad instantánea, en ecuaciones diferenciales, se representa como:

v=dy/dt    (Fórmula para la velocidad Instantánea)                   Eq. (2)

Si igualamos la Eq. (2) con la ecuación Eq. (1):

dy/dt=cy

Ahora, realicemos las operaciones (paso a paso), para determinar el valor de la función:

dy/dt=cy,   Por tanto: dy=cydt

\large dy/y=cdt, (Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos. -Nemotecnia)

\int \frac{dy}{y}= c\int dt+k

\ln y= ct+k y recordando: \ln a=b\Rightarrow a=e^\textit{b}

Ahora, si consideramos las condiciones iniciales

y = 0, t = 0         Entonces: 0=e^\emph{c0+k}\Rightarrow 0=e^k

Si k >= 0, entonces   sería positivo, si k < 0, entonces podríamos decir: k = -k’, donde k’ es positiva, tendríamos:

e^\textit{k}= e^\textit{-k'}= \frac{1}{e^\textit{k'}}=\frac{1}{positivo}=positivo

Por tanto,   es necesariamente positivo. En pocas palabras: “Si la Velocidad de caída libre es proporcional al desplazamiento”, entonces:

0 = número positivo

Lo cual es absurdo, como diría Euclides. De modo que: “La Velocidad de caída libre no puede ser proporcional al desplazamiento”.

Aquí tenemos un problema resuelto mediante ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Esta es una de las ecuaciones diferenciales más básicas, pero con mucha importancia histórica.

Aunque las teorías físicas insostenibles han sido y serán rechazadas o aceptadas  mediante la experimentación, ésta la hemos podido rechazar aquí, mediante la lógica: se ha probado su inconsistencia.

Lo segundo que conjeturó Galileo, es que la velocidad en un instante dado, era proporcional al tiempo que tardó el objeto en llegar a ese instante. Es decir:

v=gt,  g = cte. , t = tiempo       (2da. Conjetura de Galileo)       Eq. (3)

g = es independiente del tiempo

Ahora, si sustituimos la Eq. (3) con la ecuación Eq. (2):

dy/dt=gt

dy=gtdt,   (Ya sabemos, “Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos”)

\int dy=g\int tdt+k

y=\frac{1}{2}gt^\textit{2}+k

Ahora, considerando las condiciones iniciales:

y = 0, t = 0,               Entonces:

0=\frac{1}{2}g(0)^\textit{2}+k Lo que implica:

k = 0                        y:

x = \frac{1}{2}gt^\textit{2}                     Eq. (4)

Y llegamos a una de las proposiciones más usadas de la física, Eq. (4). Este desarrollo no es el que realizó Galileo y solo es para demostrar la utilidad de las ecuaciones diferenciales y su utilización. Este artículo fue basado en el Libro: “MATHEMATICAL MATHODS IN SCIECE” de G.PÓLYA. Cap. 5. El cual termina con la siguiente reflexión del Dr. POLYA: “Efectuando soluciones sin tener que pensar en realidad qué estamos haciendo, ganamos mucho –y perdemos mucho”. Refiriéndose a la utilidad de las Ecuaciones diferenciales y las matemáticas en general, para simplificarnos las comprobaciones de fenómenos físicos sin tener en cuenta el fenómeno (avocandose a las matemáticas, lo cual puede ser una ventaja en cuanto a la rapidez con lo que se puede entender o, inclusive, resolver un fenómeno) y, también a la desventaja que podría tener para el estudiante que no reflexione sobre lo que está haciendo.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s