Ecuación Diferencial, Ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

Ecuación diferencial, ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)=f(x)
  2. Factor Integrante: {{e}^{\overset{{}}{\mathop{\int }}\,P\left( x \right)dx}}

Forma de solución: y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

  1.                                  {{y}_{c}}=C{{e}^{-\overset{{}}{\mathop{\int }}\,P\left( x \right)dx}}
  •                                   {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\overset{{}}{\mathop{\int }}\,P\left( x \right)dx}}}\overset{{}}{\mathop{\int }}\,{{e}^{\overset{{}}{\mathop{\int }}\,P\left( x \right)dx}}f(x)dx

  • Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 6 al 10)

    a)      {{y}^{'}}+2xy={{x}^{3}}

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}+2xy={{x}^{3}}
    2. {{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{2x}}
    3. {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}
    4. {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx

    \mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)\left( {{x}^{2}} \right)dx

    {{e}^{u}}={{e}^{{{x}^{2}}}}

    du=2x

    Por tanto: \frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2 \right)xdx=\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}

    Por tanto:

    u={{x}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }   ;    dv={{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx

    du=2x ; v=\frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(2)xdx

    =\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}

    Por tanto:

    \mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx

    De modo que (siguiendo con iv):

    {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}(\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}})

    =\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}

    Por tanto:

    y=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}+\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}


    b)      {{x}^{2}}{{y}^{'}}+xy=1

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{1}{{{x}^{2}}}
    2. {{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}=x
    3. {{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln x}}

    =C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}

    =C{{x}^{-1}}

    4.  {{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x\frac{1}{{{x}^{2}}}dx

    =\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx

    =\frac{1}{x}\ln x

    Por tanto:

    y=C{{x}^{-1}}+\frac{1}{x}\ln x


    c)      {{y}^{'}}=2y+{{x}^{2}}+5

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}-2y={{x}^{2}}+5
    2. {{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{-2x}}
    3. {{y}_{c}}=C{{e}^{2x}}
    4. {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}}+5)dx

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)dx=\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx+5\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx

    u={{x}^{2}}       ;   dv={{e}^{-2x}}dx

    du=2xdx        v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}

    Por tanto:

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}+\frac{2}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx

    u=x\text{ }\!\!~\!\!\text{ }       ;   dv={{e}^{-2x}}dx

    du=dx        v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}

    Por tanto:

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( x \right)dx=-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}+\frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx

    {{e}^{u}}={{e}^{-2\text{x}}}

    du=-2dx

    \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}

    \mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}+\{-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}]+5\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx

    =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}+5(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}})

    =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}}

    Esto implica:

    {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}})

    =\frac{1}{{{e}^{-2x}}}[-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\left( \frac{1}{4}+\frac{5}{2} \right){{e}^{-2x}}]

    =-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}

    Por tanto:

    y=C{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}


    d)      x\frac{dy}{dx}-y={{x}^{2}}\sin x

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin x
    2. {{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}={{x}^{-1}}=\frac{1}{x}
    3. {{y}_{c}}=C{{e}^{\left( - \right)-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

    =C{{e}^{\ln x}}=Cx

    4.   {{y}_{p}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}\left( x\sin x \right)dx

    =x\mathop{\int }^{}\sin xdx

    =-x\cos x

    Por tanto:

    y=Cx-x\cos x


    e)      x\frac{dy}{dx}+2y=3

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}
    2. {{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}
    3. {{y}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{-2\ln x}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}
    4. {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx

    =\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx

    =\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}=\frac{3}{2}

    Por tanto:

    y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}

    TÉCNICAS PERFECTAS PARA APRENDER

    La mejor forma de aprender es haciendo, esto te lleva eventualmente a dominar tus habilidades, una de las estratégias más usadas actualmente dentro de la educación constructivista es guiar al alumno para que desarrolle sus métodos y técnicas que le permitan adueñarse del conocimiento , dentro de esta estrategia, en muchos países que han adoptado la educación basada en competencias, los maestros les enseñan sus propias técnicas a los alumnos para que ellos partan de ese conocimiento y generen  nuevo, es por esto que comparto contigo mis propias estrategias de aprendizaje describiendote el proceso de razonamiento en los ejercicios de tal manera que puedas adoptarlo y mejorarlo.

    En mi manual:

    CÓMO ENTENDER Y RESOLVER CUALQUIER ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN Y SIMULARLA CON SOFTWARE MATEMATICO EN 4 PASOS

    Desarrollo paso a paso de la estrategia para resolver EDO’s Lineales de primer orden de tal manera que puedas rápidamente aplicar el concepto, mediante una metodología sólida, práctica y efectiva.

    Además explico de donde surge dicha estrategia y cómo se vincula con la estrategia para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas, con lo que tendrás un puente para seguir creando conocimiento.

    Dale click al link o la presentación de abajo y comienza a utilizar el método y simularlo por computadora.

    PD. la sumilación por computadora lo puedes hacer en la celda de SAGE que he habilitado para ti en la página: Haz tu Simulación, da click aquí.

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