Ecuacion Diferencial ejercicios resueltos Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (10-11)

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)=f(x)

2. Factor Integrante: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}

Forma de solución: y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

3.                                  {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}

4.                                   {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 10 al 12)

a)      x{{y}^{'}}+2y=3

Pasos:

  1. \frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}
  2. {{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}
  3. {{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}=\frac{C}{{{x}^{2}}}
  4. {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx

=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}3xdx

=\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx=\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}

=\frac{3}{2}

Por tanto:

                          y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}

______________________________________________________________________________________

b)      x{{y}^{'}}+4y={{x}^{3}}-x

Pasos:

  1. \frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y={{x}^{2}}-1
  2. {{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{4\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{4}}}}={{x}^{4}}
  3. {{y}_{c}}=C{{e}^{-4\ln x}}

=C{{e}^{\ln {{x}^{-4}}}}

=C{{x}^{-4}}

=\frac{C}{{{x}^{4}}}

4.   {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}({{x}^{2}}-1)dx

=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{6}}-{{x}^{4}})dx

=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{6}}dx-\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}dx

=\frac{1}{7{{x}^{4}}}{{x}^{7}}-\frac{1}{5{{x}^{4}}}{{x}^{5}}

=\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x

Por tanto:

y=\frac{C}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x

____________________________________________________

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