Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill Capítulo 2.3 (12-13)

Ecuación diferencial, ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)
  2. Factor Integrante: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}

Forma de solución: y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

  1.                                  {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}
  •                                   {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx

  • Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 12 al 13)

    a)      \left( 1+x \right)\frac{dy}{dx}-xy=x+{{x}^{2}}

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}-\frac{x}{\left( 1+x \right)}y=\frac{x+{{x}^{2}}}{1+x}=x
    2. {{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{x}{1+x}dx}}={{e}^{-\mathop{\int }^{}1-\frac{1}{(1+x)}dx}}={{e}^{-x}}{{e}^{\ln (1+x)}}

    ={{e}^{-x}}(1+x)

    3.   {{y}_{c}}=C{{e}^{-(-)\mathop{\int }^{}1-\frac{1}{(1+x)}dx}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}1-\frac{1}{(1+x)}dx}}=C{{e}^{x}}{{e}^{-\ln (1+x)}}

    =C{{e}^{x}}{{e}^{\ln {{(1+x)}^{-1}}}}

    =C{{e}^{x}}{{(1+x)}^{-1}}

    =\frac{C{{e}^{x}}}{(1+x)}

    4.   {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-x}}(1+x)}\mathop{\int }^{}{{e}^{-x}}(1+x)\left( x \right)dx

    =\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}\mathop{\int }^{}(x+{{x}^{2}}){{e}^{-x}}dx

    =\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}\mathop{\int }^{}x{{e}^{-x}}dx+\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{-x}}dx

    Integrando por partes:

    \mathop{\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{-x}}dx

    u={{x}^{2}}                        ;              dv={{e}^{-x}}dx

    du=2xdx                               v=-{{e}^{-x}}

    \therefore \mathop{\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{-x}}dx=-{{x}^{2}}{{e}^{-x}}+2\mathop{\int }^{}x{{e}^{-x}}dx

    Realizamos la misma operación para la integral obtenida:

    \mathop{\int }^{}x{{e}^{-x}}dx

    u=x                          ;              dv={{e}^{-x}}dx

    du=dx                     v=-{{e}^{-x}}

    \therefore \mathop{\int }^{}x{{e}^{-x}}dx=-x{{e}^{-x}}+\mathop{\int }^{}{{e}^{-x}}dx

    =-x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}

    Y regresando al paso 4:

    {{y}_{p}}=\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}[-x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}-{{x}^{2}}{{e}^{-x}}+2(-x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}})]

    =\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}[-{{x}^{2}}{{e}^{-x}}-3x{{e}^{-x}}+3{{e}^{-x}}]

    =\frac{1}{(1+x)}[-{{x}^{2}}-3x+3]

    Por tanto:

    y=\frac{c{{e}^{x}}}{x+1}-\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+1}

    Notar que:  \frac{x+{{x}^{2}}}{x+1}=\frac{x(1+x)}{1+x}=x

    Esta división \frac{x}{1+x}, da como resultado:

    \frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x},

    Utilizando la división (sintética) de polinomios.

    X        X+1 -> X=-1, Por tanto:

    1+0     |-1

    _ -1___     Lo cual implica: 1-\frac{1}{1+x}

    1 |– 1

    Nota: Puedo incliur un post sobre división sintética de ser necesario.


    b)      {{x}^{2}}{{y}^{'}}+x(x+2)y={{e}^{x}}

    Pasos:

    1. \frac{dy}{dx}+\frac{(x+2)}{x}y=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}
    2. {{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{x+2}{x}dx}}={{e}^{x+\ln {{x}^{2}}}}={{e}^{x}}{{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}{{e}^{x}}

    Desglosando la integral:

    \mathop{\int }^{}\frac{x+2}{x}dx=\mathop{\int }^{}dx+2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{x}

    =x+2\ln x

    =x+\ln {{x}^{2}}

    Regresando a los pasos:

    3.   {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{x+2}{x}dx}}

    =C{{e}^{-(x+\ln {{x}^{2)}}}}

    =C{{e}^{-x}}{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}

    =C{{e}^{-x}}{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}

    =C{{x}^{-2}}{{e}^{-x}}

    =C\frac{{{e}^{-x}}}{{{x}^{2}}}

    4.   {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{x}}(\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}})dx

    =\frac{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx

    =\frac{1}{2{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{{e}^{2x}}

    =\frac{{{e}^{x}}}{2{{x}^{2}}}

    Por tanto:

    y=C\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{e}^{x}}}{2{{x}^{2}}}


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    3 pensamientos en “Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill Capítulo 2.3 (12-13)

      • Luis,
        Ya revisé el procedimiento y esta bien, si quieres corroborar el resultado te invito a que hagas la simulación del problema por tí mismo utilizando el siguiente código que contiene la explicación de cada una de sus lineas.

        ### Solución de una Ecuacion diferencial de variables separables
        x = var(‘x’) # definición variable independiente
        y = function(‘y’,x) # definición variable dependiente
        de = diff(y,x) == x*y/(1+x)+x # ED: y’ = – x*y/(1+x)+x
        sol=desolve(de,y) # utilizamos desolve para resolver la ED
        view(sol)
        ##### Fin del código

        Corta y pega éste código en la celda de SAGE que está en mi nuevo BLOG de Ecuaciones Diferenciales, en la página de haz tu simulación, de la cual te dejo el link directo:
        http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/haz-tu-simulacion
        Borra la operación que aparece ahí (1+2) y pega el código.
        Luego pulsa la tecla Evaluate, y listo :). Revisa el resultado.

        Si quieres aprender más sobre simulación te recomiendo que visites la página:
        http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/simulacion-graficacion-aplicacion-ecuaciones-diferenciales-sistemas-fisicos-sage-octave-maxima-python
        Donde hablo más sobre el tema.

        Seguro notarás que es sencillo y fácil de aplicar.

        Saludos

        Alejandro Vivas

        PD. Al cortar y pegar el código que te he proporcionado para simular tu ecuación diferencial, es importante que corrijas las comillas que se incluyen en las definiciones de las variables dependientes e independientes para que pueda correr bien el código.

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