Cómo resolver una Ecuación Diferencial dividida en partes, con valores iniciales

Ecuación diferencial lineal definida por partes

En este ejemplo resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES, y la analizaremos GRÁFICAMENTE.

Con este ejercicio, podremos ver en qué consiste el concepto de Ecuación Diferencial por partes, qué significa gráficamente sus “partes” o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y cómo manipular un Problema con Valores Iniciales (PVI), con una Ecuación Diferencial (ED) (ó sistema lineal), de estas características.

Nuestro ejemplo es:

a)      \frac{dy}{dx}+2y=f(x),             y\left( 0 \right)=0,

\huge f(x)=\left\{\begin{matrix}1,0\leq x\leq 3\\ 0,x> 3\end{matrix}\right.

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace). Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 31).

Empezamos con f\left( x \right)=1:

Pasos:

I.                    Forma estándar de la ED a resolver: \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

Solo sustituimos en valor de la función de entrada.

\frac{dy}{dx}+2y=1

II.                  Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=2.

{{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{2x}}

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=2 encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

\frac{dy}{dx}+2y=0

{{y}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}

=C{{e}^{-2x}}

=\frac{C}{{{e}^{2x}}}

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS donde los nombres adquieren más sentido al hablar de “ENTRADAS y/o SALIDAS”. Acá solo hemos querido integrar la terminología por el hecho de que los Sistemas Dinámicos, son los modelos donde más recurrentemente se utilizan las ecuaciones diferenciales y este tipo de funciones definidas por partes.

Propiamente dicho, un SISTEMA LINEAL consta de las VARIABLES DE ESTADO (variables que en los sistema dinámicos dependen del tiempo “t”), {{y}^{n}}(t),{{y}^{n-1}}(t),\ldots ,{{y}^{2}}(t),{{y}^{1}}(t). Para que un sistema sea Lineal, tiene que cumplir con el Teorema de Superposición.

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{2}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=1.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

\frac{dy}{dx}+2y=1

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(1)dx

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx

{{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(2)dx

{{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}[{{e}^{2x}}]

{{y}_{p}}=\frac{1}{2}

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: \frac{dy}{dx}+2y=1, donde su función de entrada es igual a: \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1, es:

y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}

Ahora, encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: y\left( 0 \right)=0.

Aplicamos acá los valores iniciales porque la Ecuación Diferencial con f\left( x \right)=1, está definida para el intervalo 0\le x\le 3, que incluye a x=0.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes.

Primero evaluamos cuando f\left( x \right)=1

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=0;~~~~~~y=0

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo es:

y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
y\left( 0 \right)=0

Tenemos:

0=\frac{C}{{{e}^{2(0)}}}+\frac{1}{2}

\Rightarrow 0=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}

\Rightarrow 0=C+\frac{1}{2}

\Rightarrow C=-\frac{1}{2}

Por lo que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

y\left( x \right)=-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}

Ahora, resolvemos cuando f\left( x \right)=0

Ahora, Resolvemos el sistema lineal para el segundo valor de su función de entrada, es decir, cuando f\left( x \right)=0 , por lo que tenemos que resolver:

 \frac{dy}{dx}+2y=0,

Podemos notar que en este caso, la ED a evaluar (el sistema lineal), es el sistema homogéneo asociado de la ED anterior (paso III), por lo que sabemos que su solución es:

y(x)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}

Ahora, para conocer la solución particular de la Función de Salida anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: f\left( x \right)=0, no está definida para cuando: x=0, por lo que para evaluar esta función para encontrar una solución particular, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes, donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Tal es el caso en esta ocasión Sigue leyendo

Intervalo y solución del problema de valores iniciales (PVI)

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor inicial:

a)      {{y}^{'}}+\left( \tan x \right)y={{\cos }^{2}}x,             y\left( 0 \right)=-1

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 30).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que f(x) , es una constante.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=\tan x.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\tan xdx}}={{e}^{-\ln (\cos x)}}

={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}

={{(\cos x)}^{-1}}

=\frac{1}{\cos x}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=\tan x encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\tan xdx}}

=C{{e}^{(-)-\ln (\cos x)}}

=C{{e}^{\ln (\cos x)}}

=C\cos x

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de x=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=-1 , de modo que:

Sustituyendo en:

{{y}_{c}}=C\cos x

Tenemos:

-1=C\cos 0~\Rightarrow ~~C=~-1

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{y}_{c1}}=-\cos x

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=C\cos x y la solución particular  {{y}_{c1}}=-\cos x

La función {{y}_{c}}=C\cos x , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2} \right\}. Sin embargo, la solución particular {{y}_{c1}}=-\cos x, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{y}_{c1}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <x<\infty \right\}, también. Es decir, la función, solución del Problema de valores iniciales, no tiene el mismo dominio que el de la función, solución general. El valor de C=-1 , para la solución particular del PVI \frac{dy}{dx}+(\tan x)y=0y\left( 0 \right)=-1.Ver gráfica al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{1}{\cos x} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)={{\cos }^{2}}x.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{(\cos x)}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{(\cos x)}^{-1}}({{\cos }^{2}}x)dx

{{y}_{p}}=\cos x\mathop{\int }^{}{{(\cos x)}^{-1}}{{(\cos x)}^{2}}dx

{{y}_{p}}=\cos x\mathop{\int }^{}\cos xdx

{{y}_{p}}=\cos x\sin x

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=0;~~~~~~y=-1

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

y\left( x \right)=C\cos x+\cos x\sin x

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
y\left( 0 \right)=-1

Tenemos:

-1=C\cos 0+\cos 0\sin 0

\Rightarrow -1=C(1)+(1)(0)

\Rightarrow -1=C+0

\Rightarrow C=-1

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y\left( x \right)=C\cos x+\cos x\sin x

y la solución particular del PVI:
y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

El dominio de la solución y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x está en el intervalo: {{D}_{y(x)}}:-\infty <x<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (\frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x,   y\left( 0 \right)=-1), es el intervalo abierto: (-\infty ,\infty ), ver la gráfica anterior para notar la diferencia entre intervalo de solución del PVI e intervalo de la solución general. También, ver gráfica al final del ejercicio. Notar que el valor de C=-1 , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI (sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, y\left( 0 \right)=-1, es,

y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-\infty <x<\infty \right\}

En la siguiente gráfica se ve más claramente la diferencia entre el dominio de la función solución general y el dominio de la solución particular del problema de Valores Iniciales:

Como podemos notar, la función solución (y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x) del Problema de valores iniciales:  ( \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, y\left( 0 \right)=-1), está definida para todo el intervalo (-\infty ,\infty ), aunque la función, solución general, de la Ecuación Diferencial: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, no está definida para los valores múltiplos enteros de \frac{\pi }{2}, o en radianes (como aparece en las gráficas), son los múltiplos de: 1.57079633 radianes.

Por tanto:

Para la solución general, el intervalo de solución es: \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)

Para la solución del PVI, el intervalo de solución es: \left( -\infty ,\infty \right)

Necesitas mas ejemplos:

Revisa este mismo caso con otros valores: Ecuación diferencial, ejercicio del Capítulo 2.3 Problema 17

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cómo encontrar el Intervalo de Solución de un PVI?

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor inicial:

a)      \left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x,             y(1)=10

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 29).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que f(x) , es una constante.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}={{e}^{\ln (x+1)}}

=\text{x}+1

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=\frac{1}{x+1} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}

=C{{e}^{-\ln (x+1)}}

=C{{e}^{-\ln (x+1)}}

=C{{e}^{\ln {{(x+1)}^{-1}}}}

=C{{(x+1)}^{-1}}

=\frac{C}{(x+1)}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de x=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=10 , de modo que:

Sustituyendo en:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}

Tenemos:

10=\frac{C}{1+1}~\Rightarrow ~~C=\left( 2 \right)10~\Rightarrow C=20

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x+1} y la solución particular  {{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}

La función {{y}_{c}}=\frac{C}{x+1} , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-1<x<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{y}_{c1}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-1<x<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. El valor de C=20 , para la solución particular del PVI \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0y(1)=10. Ver de dónde sale el dominio de la función solución del PVI, analizando cada gráfica que ésta contiene, al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es Sigue leyendo

Intervalo de solución para un Problema del Valor Inicial (PVI) de una ED lineal

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor Inicial:

a)      \frac{dT}{dt}=k(T-Tm),             T(0)={{T}_{0}}

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 28).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que  , es una constante.

\frac{dT}{dt}+P\left( t \right)T=f(t)

\frac{dT}{dt}-kT=-k{{T}_{m}}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( t \right)\mathbf{dt}}},  

El valor de P(t) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}} , es: P\left( t \right)=-k.

{{e}^{-k\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{-kt}}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dT}{dt}-kT=0. Sustituimos en {{T}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}, donde: P\left( t \right)=-k encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{T}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{T}_{c}}=C{{e}^{(-)-k\mathop{\int }^{}dt}}

=C{{e}^{kt}}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }T={{T}_{0}} , de modo que:

Sustituyendo en:

{{T}_{c}}=C{{e}^{kt}}

Tenemos:

{{T}_{0}}=C{{e}^{k(0)}}~\Rightarrow ~~{{T}_{0}}=C\left( 1 \right)~~\Rightarrow ~~C={{T}_{0}}

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{T}_{c1}}={{T}_{0}}{{e}^{kt}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{T}_{c}}=C{{e}^{kt}} y la solución particular  {{T}_{c1}}={{T}_{0}}{{e}^{kt}}

La función {{T}_{c}}=C{{e}^{kt}} , tiene como dominio el intervalo: {{D}_{{{T}_{c}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{T}_{c1}}={{T}_{0}}{{e}^{kt}}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{T}_{c1}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a T(t), dentro del rango que estemos analizando. El valor de C={{T}_{0}} , para la solución particular del PVI \frac{dT}{dt}=kTT(0)={{T}_{0}}. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dT}{dt}-kT=-k{{T}_{m}}. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{T}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}={{e}^{-kt}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( t \right)=-k{{T}_{m}} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{T}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-kt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-kt}}(-k{{T}_{m}})dt

=\frac{{{T}_{m}}}{{{e}^{-kt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-kt}}(-k)dt

=\frac{{{T}_{m}}}{{{e}^{-kt}}}[{{e}^{-kt}}]

={{T}_{m}}

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

t=0;~~~~~~T={{T}_{0}}

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

T\left( t \right)=C{{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
T\left( 0 \right)={{T}_{0}}

Tenemos:

{{T}_{0}}=C{{e}^{k(0)}}+{{T}_{m}}

\Rightarrow {{T}_{0}}=C(1)+{{T}_{m}}

\Rightarrow C={{T}_{0}}-{{T}_{m}}

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

T\left( t \right)=C{{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

y la solución particular del PVI:
T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

El dominio de la solución T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}} está en el intervalo: {{D}_{i(t)}}:-\infty <t<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (\frac{dT}{dt}=k(T-Tm),   T(0)={{T}_{o}} ), es el intervalo: (-\infty ,\infty ). Notar que el valor de C={{T}_{0}}-Tm , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: \frac{dT}{dt}=k(T-Tm), T(0)={{T}_{0}}, es,

T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ t\in R|-\infty <t<\infty \right\}

Para analizar el comportamiento de dos casos particulares de variación de T(t), con respecto del tiempo, mostramos las siguientes tablas y gráficas.

Sistema representado por:  T\left( t \right)=25{{\text{e}}^{-2t}}

En esta gráfica podemos ver que mientras t\to \infty , T\left( t \right)\to 0. Se trata de un proceso de descongelamiento y la temperatura se tiende a estabilizar, en este caso a CERO, por tratarse de un sistema Homogéneo; hablando de sistemas físicos representados mediante Ecuaciones Diferenciales,  cuando la función f\left( x \right)=0, se refiere, en general a que no existen factores externos al sistema que lo modifiquen.  Veamos el siguiente ejemplo:

Sistema representado por: T\left( t \right)={{\text{e}}^{-2t}}(-3+28{{\text{e}}^{2t}})

En este ejemplo el sistema recibe los efectos del medio ambiente al involucrarse la variable Tm=28. Notar que f\left( x \right)=-kTm, en la ecuación original: \frac{dT}{dt}=k(T-Tm). En este caso, el sistema incrementa su temperatura cuando “t” aumenta. La temperatura de estabilidad es Tm=28. Esto se puede ver más claro en la gráfica de “Campo de direcciones”

Cual es el Intervalo de Solución de un Problema del Valor Inicial.

Método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 27).

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      L\frac{di}{dt}+Ri=E,             i(0)={{i}_{o}}

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de \frac{di}{dt}, que es “L”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.

\frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)

\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,  

El valor de P(t) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}, P(t)=\frac{R}{L}.

{{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0. Sustituimos en {{i}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}, donde: P(t)=\frac{R}{L} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{i}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}

=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}} , de modo que:

Sustituyendo en:

{{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

Tenemos:

{{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}} y la solución particular  {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

La función {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}} , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{x}_{c}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{x}_{c1}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a i(t), dentro del rango que estemos analizando. El valor de C={{i}_{0}} , para la solución particular del PVI L\frac{di}{dt}+Ri=0i(0)={{i}_{o}}. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}=\frac{R}{L} (obtenido en el punto ii.) y f\left( t \right)=\frac{E}{L} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt

=\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt

=\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]

=\frac{E}{R}

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

t=0;~~~~~~i={{i}_{0}}

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
i\left( 0 \right)={{i}_{0}}

Tenemos:

{{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}

\Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}

\Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

y la solución particular:
i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

El dominio de la solución i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~ está en el intervalo: {{D}_{i(t)}}:-\infty <t<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (L\frac{di}{dt}+Ri=E,   i(0)={{i}_{o}} ), es el intervalo: (-\infty ,\infty ). Notar que el valor de C={{i}_{0}}-\frac{E}{R} , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: L\frac{di}{dt}+Ri=E, i(0)={{i}_{o}}, es,

i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~

Con intervalo de solución:

I:\left\{ t\in R|-\infty <t<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ecuación Diferencial lineal No Homogenea, Intervalo de Solución

Intervalo de solución del Problema del Valor Inicial

Método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 26). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}},             y(1)=5

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de \frac{dx}{dy}, que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x” en realidad aunque la ED está planteada para resolver en función de . Simplificamos.

\frac{dx}{dy}+P\left( y \right)x=f(y)

\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( y \right)\mathbf{dy}}},  

El valor de P(y) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}, P(y)=\frac{1}{y}. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.

{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}={{e}^{-\ln |y|}}

={{\text{e}}^{\ln {{y}^{-1}}}}

={{\text{y}}^{-1}}

=\frac{1}{y}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=0. Sustituimos en {{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}, donde: P(y)=\frac{1}{y} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{x}}_{c}}=C{{e}^{(-)-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}

=C{{e}^{\ln |y|}}

=C\text{y}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de \text{x}=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ y}=5 , de modo que:

1=C\left( 5 \right)~\Rightarrow ~~C=\frac{1}{5}

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{x}_{c}}=\frac{1}{5}y

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{x}_{c}}=Cy y la solución particular  {{x}_{c}}=\frac{1}{5}y

La función {{x}_{c}}=Cy , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{x}_{c}}}}:\{x\in \mathcal{R}|0<x<\infty \}. Es decir, el dominio de la función abarca todos los números positivos, sin incluir al cero. Esto se debe a que no existen valores de “C”, para los cuales exista una solución particular cuyos valores iniciales sean x\left( b \right)=0; de nuevo, si x=0, ''y'', solo puede ser igual a CERO, ya que no está definida para otro valor de “y” la función cuando x=0. Sin embargo, decimos que el intervalo más largo de la solución específica es  -\infty <x<\infty , ya que nos referimos a UNA SOLUCIÓN en particular, la cual sí está definida en todo el intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo: \frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{x}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}f(y)dy, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}={{y}^{-1}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=2y obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{x}_{p}}=\frac{1}{{{y}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{y}^{-1}}(2y)dy

=2y\mathop{\int }^{}dy

=2{{y}^{2}}

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” y “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=1;~~~~~~y=5

Por tanto:

1=C\left( 5 \right)+2{{(5)}^{2}}

\Rightarrow 1=5C+50

\Rightarrow 5C=1-50

\Rightarrow C=-\frac{49}{5}

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=Cy+2{{y}^{2}}

y la solución particular:
y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}

El dominio de la solución está en el intervalo: {{D}_{{{y}_{p}}}}:-\infty <x<\infty . o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: (-\infty ,\infty ). Notar que nuevamente, el dominio para la solución general de la ED lineal es: \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{D}_{y}}:0<x<\infty ó  {{D}_{y}}:-\infty <x<0. Esto es porque, como ya mencionamos en la gráfica anterior, la solución general no está definida cuando x=0, para un valor de “y”, diferente de cero, y puesto que la solución general nos indica por donde podemos encontrar una solución particular para el problema, es necesario acotar o restringir su dominio a los valores en los que sí está definida, de modo que podamos trazar la solución, con estos dos datos.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial, de la ecuación diferencial y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}}, es:

y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-\infty <x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________