Ecuacion Diferencial lineal de primer orden, homogenea y no homogenea


ED lineales de 1er orden

Con el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 23). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

x\frac{dy}{dx}+\left( 3x+1 \right)y={{e}^{-3x}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de \frac{dy}{dx}, que es “x”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Para esto sustituimos el valor de P\left( x \right)dxen {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}},   donde:P(x)=2x-1. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}={{e}^{3\mathop{\int }^{}dx+\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

={{e}^{3x+\ln x}}

=\text{x}{{e}^{3x}}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=0 . Para resolverla sustituimos en la fórmula: {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, los valores de P(x)=\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}

=C{{e}^{-3\mathop{\int }^{}dx-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

=C{{e}^{-3x-\ln x}}

=C{{e}^{-3x+\ln {{x}^{-1}}}}

=C{{x}^{-1}}{{e}^{-3x}}

=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}

Se puede ver una solución particular {{y}_{c1}}=-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x} donde C=-{{e}^{\frac{3}{2}}}. Notar que la función
{{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x} , tiene como dominio más largo el intervalo: 0<x<\infty . El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (0~,\infty ), aunque el intervalo para la función es: y:\{x\in \mathbb{R}-\left( 0 \right)\}, o dicho de otra forma más sencilla, el valor de la función y, es: \left( -\infty ,0 \right);(0,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: \frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( x \right)dx}}=\text{x}{{e}^{3x}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3x}}}{x} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{3x}}(\frac{{{e}^{-3x}}}{x})dt

=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}dx

=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}[x]

={{e}^{-3x}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}

Se puede ver una solución particular y\left( x \right)={{\text{e}}^{-3x}}-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}-\frac{{{\text{e}}^{-3x}}}{2x}, Donde: C=-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{3}{2}}}. Nuevamente notar que la función y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}} , tiene como dominio el intervalo (más largo): 0<x<\infty . Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}, es:

y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}

Con intervalo de solución:

\large I:\left\{ x\in R|0<x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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