Ecuación Diferencial lineal Homogenea y su sistema no homogeneo


ED lineales homogéneas y sistemas no homogéneos de 1er orden

Con el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 24). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

({{x}^{2}}-1)\frac{dy}{dx}+2y={{(x+1)}^{2}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{{{(x+1)}^{2}}}{(x-1)(x+1)}

\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{x+1}{x-1}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Sustituimos el valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, P(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}. El desarrollo de la las fracciones parciales se muestra al final del ejercicios, así como las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes.

{{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}[\frac{1}{2\left( x-1 \right)}-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}]dx}}

={{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{2\left( x-1 \right)}-2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{2\left( x+1 \right)}}}

={{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{dx}{\left( x-1 \right)}-\mathop{\int }^{}\frac{dx}{\left( x+1 \right)}}}

={{e}^{\ln |x-1|-\ln |x+1|}}

={{e}^{\ln \frac{|x-1|}{|x+1|}}}

=\frac{x-1}{x+1}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=0. Sustituimos en la fórmula: {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, los valores de P(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Notar que el resultado de {{y}_{c}}, es el recíproco del factor integrante multiplicado por C. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}

=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}[\frac{1}{2\left( x-1 \right)}-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}]dx}}

=C{{e}^{-\ln \left| x-1 \right|+\ln |x+1|}}

=C{{e}^{\ln \frac{|x+1|}{|x-1|}}}

=C\frac{x+1}{x-1}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=C\frac{x+1}{x-1}

Se puede ver una solución particular {{y}_{c1}}=\frac{2(x+1)}{x-1} donde C=2. Notar que la función {{y}_{c}}=C\frac{x+1}{x-1}  , tiene como dominio más largo el intervalo: 1<x<\infty . Sin embargo, debido a la no definición de la gráfica en -1<x<1, se puede tomar este intervalo para hacer evidente esta no definición. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (1~,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{x+1}{x-1}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{x-1}{x+1} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{x+1}{x-1} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{x+1}{\text{x}-1}\mathop{\int }^{}\frac{x-1}{x+1}(\frac{x+1}{x-1})dx

=\frac{x+1}{\text{x}-1}\mathop{\int }^{}dx

=\frac{x+1}{\text{x}-1}[x]

=\frac{x(x+1)}{\text{x}-1}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C(x+1)}{x-1}+\frac{x(x+1)}{x-1}

Se puede ver una solución particular \text{y}\left( \text{x} \right)=\frac{(x+1)(2+x)}{x-1},

Donde: C=2. Nuevamente notar que la función y=\frac{C(x+1)}{x-1}+\frac{x(x+1)}{x-1} , tiene como dominio el intervalo: (-1,1) y como dominio. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial ({{x}^{2}}-1)\frac{dy}{dx}+2y={{(x+1)}^{2}}, es:

y=\frac{(c+x)(x+1)}{x-1}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-1<x<1 \right\}

Recordar:

Fraciones parciales

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}

=A\left( x+1 \right)+B(x-1)

=Ax+A+Bx-B

=(A+B)x+A-B

Igualando los términos semejantes de la derecha con los de la izquierda.

No hay términos en “x” así que:

A+B=0 \Rightarrow A=-B

Para las variables A, B solas, está el “1”

A-B=1  \Rightarrow A=1+B

Por tanto:

-B=1+B

2B=-1

B=-\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{1}{2}

De donde:

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}-\frac{\frac{1}{2}}{x+1}

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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