Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.

Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.

ED lineal de 1er Orden

Intervalo de definición de la solución del problema del valor inicial

Utilizaremos el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 25). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

xy'+y={{e}^{x}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de \frac{dy}{dx}, que es “x”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, P(x)=\frac{1}{x}. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}

=\text{x}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, donde: P(x)=\frac{1}{x} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

=C{{e}^{-\ln x}}

=C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}

=C{{\text{x}}^{-1}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x}

Mostramos, primero la famila de soluciones del sistema homogéneo asociado {{y}_{c}}=\frac{C}{x}  . Además, mostramos una solución particular {{y}_{c1}}=\frac{2}{x} donde C=2. Notar que la función {{y}_{c}}=\frac{C}{x}  , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:x\in \mathcal{R}-(0,0). Es decir, el dominio de la función abarca todos los reales a excepción del CERO. Sin embargo, decimos que el intervalos más largo de solución de la función es  0<x<\infty , ya que nos referimos a la SOLUCIÓN en sí misma, y esa es una Única curva, en este caso, que no se extiende en todos los reales. Veamos la gráfica siguiente para aclarar más este punto. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo: \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=x (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x} obtenido en el punto i. Observar como la solución particular fue idéntica a f\left( x \right). Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x(\frac{{{e}^{x}}}{x})dx

=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx

=\frac{1}{x}[{{e}^{x}}]

=\frac{{{e}^{x}}}{\text{x}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C}{x}+\frac{{{e}^{x}}}{x}

La solución del sistema no homogéneo, es decir la solución de la ED lineal completa, para el problema del valor inicial (PVI) es:~y\left( x \right)=\frac{2-\text{e}+{{\text{e}}^{x}}}{x}  , Donde: C=2-e. El dominio de la solución está en el intervalo: {{D}_{{{y}_{p}}}}:0<x<\infty . o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: (0,\infty ).

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial xy'+y={{e}^{x}}, es:

y=\frac{C{{e}^{x}}}{x}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|0<x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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