Ecuación Diferencial lineal No Homogenea, Intervalo de Solución


Intervalo de solución del Problema del Valor Inicial

Método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 26). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}},             y(1)=5

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de \frac{dx}{dy}, que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x” en realidad aunque la ED está planteada para resolver en función de . Simplificamos.

\frac{dx}{dy}+P\left( y \right)x=f(y)

\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( y \right)\mathbf{dy}}},  

El valor de P(y) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}, P(y)=\frac{1}{y}. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.

{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}={{e}^{-\ln |y|}}

={{\text{e}}^{\ln {{y}^{-1}}}}

={{\text{y}}^{-1}}

=\frac{1}{y}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=0. Sustituimos en {{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}, donde: P(y)=\frac{1}{y} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{x}}_{c}}=C{{e}^{(-)-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}

=C{{e}^{\ln |y|}}

=C\text{y}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de \text{x}=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ y}=5 , de modo que:

1=C\left( 5 \right)~\Rightarrow ~~C=\frac{1}{5}

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{x}_{c}}=\frac{1}{5}y

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{x}_{c}}=Cy y la solución particular  {{x}_{c}}=\frac{1}{5}y

La función {{x}_{c}}=Cy , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{x}_{c}}}}:\{x\in \mathcal{R}|0<x<\infty \}. Es decir, el dominio de la función abarca todos los números positivos, sin incluir al cero. Esto se debe a que no existen valores de “C”, para los cuales exista una solución particular cuyos valores iniciales sean x\left( b \right)=0; de nuevo, si x=0, ''y'', solo puede ser igual a CERO, ya que no está definida para otro valor de “y” la función cuando x=0. Sin embargo, decimos que el intervalo más largo de la solución específica es  -\infty <x<\infty , ya que nos referimos a UNA SOLUCIÓN en particular, la cual sí está definida en todo el intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo: \frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{x}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}f(y)dy, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}={{y}^{-1}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=2y obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{x}_{p}}=\frac{1}{{{y}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{y}^{-1}}(2y)dy

=2y\mathop{\int }^{}dy

=2{{y}^{2}}

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” y “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=1;~~~~~~y=5

Por tanto:

1=C\left( 5 \right)+2{{(5)}^{2}}

\Rightarrow 1=5C+50

\Rightarrow 5C=1-50

\Rightarrow C=-\frac{49}{5}

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=Cy+2{{y}^{2}}

y la solución particular:
y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}

El dominio de la solución está en el intervalo: {{D}_{{{y}_{p}}}}:-\infty <x<\infty . o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: (-\infty ,\infty ). Notar que nuevamente, el dominio para la solución general de la ED lineal es: \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{D}_{y}}:0<x<\infty ó  {{D}_{y}}:-\infty <x<0. Esto es porque, como ya mencionamos en la gráfica anterior, la solución general no está definida cuando x=0, para un valor de “y”, diferente de cero, y puesto que la solución general nos indica por donde podemos encontrar una solución particular para el problema, es necesario acotar o restringir su dominio a los valores en los que sí está definida, de modo que podamos trazar la solución, con estos dos datos.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial, de la ecuación diferencial y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}}, es:

y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-\infty <x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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