Problema del Valor Inicial (PVI), con una ED definida por partes

Ecuación diferencial lineal definida por partes

Con este ejercicio, podremos ver en qué consiste el concepto de Ecuación Diferencial por partes, qué significa gráficamente la función  o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y cómo resolver un Problema con Valores Iniciales (PVI), de un SISTEMA LINEAL o Ecuación Diferencial (ED), de estas características.

Resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES, y la analizaremos GRÁFICAMENTE.

El Ejemplo:

a)      \frac{dy}{dx}+y=f(x),             y\left( 0 \right)=1,

\LARGE \ f(x)=\left\{\begin{matrix}1; 0\leq x\leq 1\\-1; x> 1 \end{matrix}\right.

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace).

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 32).

Empezamos con f\left( x \right)=1:

Pasos:

I.                    Forma estándar de la ED a resolver: \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

Solo sustituimos en valor de la función de entrada f(x).

\frac{dy}{dx}+y=1

II.                  Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

{{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=1.

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=1 encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

\frac{dy}{dx}+y=0

{{y}_{c1}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}dx}}

=C{{e}^{-x}}

=\frac{C}{{{e}^{x}}}

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS donde los nombres adquieren más sentido al hablar de “ENTRADAS y/o SALIDAS”.

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{x}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=1.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

\frac{dy}{dx}+y=1

{{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}(1)dx

{{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx

{{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}[{{e}^{x}}]

{{y}_{p1}}=1

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: \frac{dy}{dx}+y=1, donde su función de entrada es igual a: \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1, es:

{{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}+1

Ahora, encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: y\left( 0 \right)=1.

Aplicamos acá los valores iniciales porque la Ecuación Diferencial con f\left( x \right)=1, está definida para el intervalo  0\le x\le 1, que incluye a x=0.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes.

Primero evaluamos cuando f\left( x \right)=1

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=0;~~~~~~y=1

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo es:

{{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}+1

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
{{y}_{1}}\left( 0 \right)=1

Tenemos:

1=\frac{C}{{{e}^{(0)}}}+1

\Rightarrow 1=\frac{C}{1}+1

\Rightarrow 1-1=C

\Rightarrow C=0

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

{{y}_{1}}\left( x \right)=1

Ahora, resolvemos cuando f\left( x \right)=-1

Ahora, Resolvemos el sistema lineal para el segundo valor de su función de entrada, es decir, cuando f\left( x \right)=-1 , por lo que tenemos que resolver:

 \frac{dy}{dx}+y=-1,

Seguimos los mismos 4 pasos, de siempre, los pasos II y III, son idénticos al ejercicio previo:

I. Forma estándar de la ED a resolver:

\frac{dy}{dx}+y=-1,

II. Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}, P\left( x \right)=1

{{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

{{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{c1}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}dx}}=C{{e}^{-x}}

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

{{y}_{p2}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}(-1)dx

{{y}_{p2}}=\frac{-1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx

{{y}_{p2}}=\frac{-1}{{{e}^{x}}}[{{e}^{x}}]

{{y}_{p2}}=-1

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: \frac{dy}{dx}+y=1, donde su función de entrada es igual a: \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1, es:

{{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}-1

Ahora evaluamos cuando f\left( x \right)=-1

Ahora, para conocer la solución particular de la solución general anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: f\left( x \right)=-1, no está definida para cuando: x=0, por lo que para evaluar esta función, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes, donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Tal es el caso en esta ocasión pues podemos ver que cuando el sistema lineal tiene \text{f}\left( \text{x} \right)=-1, el dominio de su variable independiente es: \text{x}>1,

\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}1;0\leq x\leq 1\\-1;x> 1\end{matrix}\right.

Por lo que no podemos considerar sustituir x=0, en la Función de Salida obtenida:

{{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}-1,       x>1

Para esta situación, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD.

TEOREMA. Continuidad: “El límite de una función cuando su variable independiente tiende a un número específico, existe, si el límite de la función, cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda”. Es decir, para este caso:

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)\to \exists \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y(x), Donde: \exists = Existe

Con este teorema encontraremos el valor de “C”, para hallar la Respuesta del Sistema cuando la función de entrada es: \text{f}\left( \text{x} \right)=-1, suponiendo que el límite existe. Entonces:

El límite por la izquierda:

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,1=1, cuando:  0\le x\le 1

Y el límite por la derecha:

\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{C}{{{e}^{x}}}-1=\frac{C}{{{e}^{(1)}}}-1=\frac{C}{\text{e}}-1, cuando:  x>3

Con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

1=\frac{C}{e}-1

Esto implica:

\frac{C}{e}=1+1,

C=2e

Por tanto:

{{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}-1=\frac{2e}{{{e}^{x}}}-1=2{{e}^{1-x}}-1

De donde, la solución del Sistema Lineal, dividida en partes, con valores iniciales, es:

\LARGE \ f(x)=\left\{\begin{matrix}1;0\leq x\leq 1\\2e^{1-x}-1;x> 1\end{matrix}\right.

Este resultado es válido, aparentemente al haber empleado la definición de Continuidad, sin embargo, habrá que verificarlo y lo haremos posteriormente (siga el link), y veremos que no es válido el resultado por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. En este caso no es así, puesto que para un mismo punto (punto x=1), tenemos dos funciones.

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales; la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

En esta gráfica podemos ver que en el punto x=1, la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad, es decir:

Derivando el lado derecho de la función de salida y el lado izquierdo:

{{y}_{1}}\left( x \right)=1  y

{{y}_{2}}\left( x \right)=2{{e}^{1-x}}-1,

E igualando los resultados, tenemos:

0=-2{{e}^{1-x}},

Por lo que al no obtener una identidad, la ecuación no es diferenciable en x=1.

Necesitas mas ejemplos, ver el prob 31, prob 33, prob 34

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