Ecuacion Diferencial: solución expresada con la función Error


Como utilizar la función error \text{e}rf\left( x \right) , para expresar una solución o función que incluya una integral no elemental.

Al finalizar  el artículo podrás utilizar y entender fácilmente cómo implementar la función error para expresar funciones con integrales no elementales.

La utilidad de ésta función (error) es despejar nuestra función de salida de la integral no elemental; esto lo logramos mediante recordar que:

\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\sqrt{\pi }

Lo cual sabemos del cálculo multivariable y que podemos integrar utilizando integrales dobles y un cambio de variables a coordenadas polares para comprobar, siga este link.

De modo que si tomamos la mitad de la función en 1, tenemos:

\frac{\sqrt{\pi }}{2}=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x

Por tanto, utilizando la propiedad de la unión de intervalos:

\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}

\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\left( \underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-t}}\text{d}{{t}^{2}} \right)=1

=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=1

De donde:

\text{e}rf\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

\text{e}rfc\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

Una opción alterna para relacionar la ecuación (2) con las integrales no elementales, es:

\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{dx} es equivalente a \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

Donde, habiendo considerado la veracidad de la ecuación (2), solo reataría comprobar que:

\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}

Una vez explicado brevemente (y de una manera para invocar la intuición) el origen de la función error, procedemos igual que siempre a solucionar nuestra ED lineal por medio de los 4 pasos:

Tenemos:

Encontrar la solución del PVI:

{{y}^{\prime }}-2xy=1,        y\left( 1 \right)=1

Buscamos:

Solución en términos de la función error.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 37).

Pasos:

I. Forma estándar de la ED a resolver: \frac{\text{d}y}{\text{d}x}+p\left( x \right)y=f(x)

 \frac{\text{d}y}{\text{d}x}-2xy=1

II. Encontramos el factor integrante: {{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}},          P\left( x \right)=2x

{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}={{\text{e}}^{-2\mathop{\int }^{}x\text{d}x}}={{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:\frac{\text{dy}}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=0{{y}_{C}}=C{{\text{e}}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}               (Ecuaciones Generales)

{{y}_{c}}={{C}_{1}}{{\text{e}}^{2\mathop{\int }^{}x\text{d}x}}

={{C}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=f\left( x \right),                      {{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}p\left( x \right)\text{d}x}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}f\left( x \right)\text{d}x   (Ecuaciones Generales)

\displaystyle {{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\left( 1 \right)\text{d}x

={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x

Por tanto, la solución del PVI es: y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

y={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x

Utilizamos ahora la función error y el Teorema Fundamental del Cálculo:

\int{{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}}=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t                 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Por tanto, considerando la ecuación (4) y despejando la integral no elemental, tenemos:

\text{e}rf\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

\Rightarrow \frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

Por tanto, La solución del PVI en términos de la función error, es:

{{y}_{p}}={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\left[ \frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( x \right) \right]=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

{{y}_{c}}={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}

De donde:

y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

y={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

Sustituyendo los valores iniciales:

Tenemos:

1={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{\left( 1 \right)}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{\left( 1 \right)}^{2}}}}\text{e}rf\left( 1 \right)

\Rightarrow 1={{c}_{1}}\text{e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{ee}rf\left( 1 \right)

\Rightarrow 1=\text{e}\left( {{c}_{1}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( 1 \right) \right)

\Rightarrow \frac{1}{\text{e}}={{c}_{1}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( 1 \right)

\Rightarrow {{c}_{1}}={{\text{e}}^{-1}}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( 1 \right)

De modo que la solución del PVI, es:

y=\left( {{\text{e}}^{-1}}-\sqrt{\frac{\pi }{2}}\text{e}rf\left( 1 \right) \right){{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

y={{\text{e}}^{-1+{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( 1 \right)+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

Para calcular los valores de la función error en MATHEMATICA podemos utilizar el siguiente código:

Limit[Integrate[Exp[-t^2],{t,0,x}],x--->Infinity]
TableForm[Table[{x,Erf[x]},{x,-1,2,0.05}],
TableHeadings®{None,{"x","Erf(x)"}}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,-10,10}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,-1,1}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,0,2}]

Los valores obtenidos, se muestran en la siguiente tabla:

x

Erf(x)

1

-1

-0.842701

2

-0.95

-0.820891

3

-0.9

-0.796908

4

-0.85

-0.770668

5

-0.8

-0.742101

6

-0.75

-0.711156

7

-0.7

-0.677801

8

-0.65

-0.642029

9

-0.6

-0.603856

10

-0.55

-0.563323

11

-0.5

-0.5205

12

-0.45

-0.475482

13

-0.4

-0.428392

14

-0.35

-0.379382

15

-0.3

-0.328627

16

-0.25

-0.276326

17

-0.2

-0.222703

18

-0.15

-0.167996

19

-0.1

-0.112463

20

-0.05

-0.056372

21

0

0

22

0.05

0.056372

23

0.1

0.112463

24

0.15

0.167996

25

0.2

0.222703

26

0.25

0.276326

27

0.3

0.328627

28

0.35

0.379382

29

0.4

0.428392

30

0.45

0.475482

31

0.5

0.5205

32

0.55

0.563323

33

0.6

0.603856

34

0.65

0.642029

35

0.7

0.677801

36

0.75

0.711156

37

0.8

0.742101

38

0.85

0.770668

39

0.9

0.796908

40

0.95

0.820891

41

1

0.842701

42

1.05

0.862436

43

1.1

0.880205

44

1.15

0.896124

45

1.2

0.910314

46

1.25

0.9229

47

1.3

0.934008

48

1.35

0.943762

49

1.4

0.952285

50

1.45

0.959695

51

1.5

0.966105

52

1.55

0.971623

53

1.6

0.976348

54

1.65

0.980376

55

1.7

0.98379

56

1.75

0.986672

57

1.8

0.989091

58

1.85

0.991111

59

1.9

0.99279

60

1.95

0.994179

61

2

0.995322

Por último, graficamos los valores obtenidos:

Grafica Funcion Error

El intervalo de la gráfica es de -10~\le x\le 10 y su rango -1~\le y\le 2.

Graf Error Function

El intervalo de la gráfica es de -1~\le x\le 1 y su rango -1~\le y\le 2.

Funcion Error

El intervalo de la gráfica es de 0~\le x\le 2 y su rango 0~\le y\le 1.

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