Ecuación Diferencial Lineal autónoma

En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuación Diferencial (ED) lineal ordinaria es autónoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.

Este es una ejercicio resuelto extraído de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).

Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal  conforme .

ANÁLISIS:

La solución de una ecuación diferencial :

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6 …………………….(1)

Es la suma de dos soluciones:

y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

Donde:

{{y}_{C}}=C{{\text{e}}^{3x}} , es la solución homogénea del (1).

{{y}_{p}}=-2 es una solución particular de la ecuación no homogénea: y'-3y=6 .

Cuando {{a}_{1}},{{a}_{0}}y gson constantes en la siguiente ecuación:

{{a}_{1}}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+{{a}_{0}}\left( x \right)y=g\left( x \right) (Ecuación diferencial de primer orden),

La ecuación diferencial es autónoma.

En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right), podemos ver que -2, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de  de C, de su solución: y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}.

Valores para C Valores de y(x)
-80 -2-80 E^(3 x)
-20 -2-20 E^(3 x)
-5 -2-5 E^(3 x)
-1 -2-E^(3 x)
-0.1 -2-0.1 E^(3 x)
-0.01 -2-0.01 E^(3 x)
-0.001 -2-0.001 E^(3 x)
-0.0001 -2-0.0001 E^(3 x)
-0.00001 -2-0.00001 E^(3 x)
0 -2
0.00001 -2+0.00001 E^(3 x)
0.0001 -2+0.0001 E^(3 x)
0.001 -2+0.001 E^(3 x)
0.01 -2+0.01 E^(3 x)
0.1 -2+0.1 E^(3 x)
1 -2+E^(3 x)
5 -2+5 E^(3 x)
20 -2+20 E^(3 x)
80 -2+80 E^(3 x)
ED autónoma

ED autónoma

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED lineal (autónoma): y'-3y=6. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de y=-2. Las curvas por arriba del punto crítico: y=-2, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal y'-3y=6, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): y=-2, se alejan de esta recta horizontal, conforme x\to \infty .

FIN DEL ANÁLISIS.

Ahora, el problema a plantear es: CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA y=4 , CONFORME x\to \infty .

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).

Para resolver este problema solo necesitamos escribir la ED lineal, de tal forma que :

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right), forma general de una ecuación diferencial de primer orden

f\left( x,y \right)=4-y

O

f\left( x,y \right)=y-4

De tal forma que:

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4-y

O

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=y-4

Resolviendo la ED lineal ordinaria de primer orden autónoma:

La ED autónoma es una ED separable, por tanto su solución se reduce a agrupar las variables correspondientes en cada miembro de la ecuación e integrar:

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4-y

\frac{dy}{(4-y)}=\text{d}x

\mathop{\int }^{}\frac{\text{d}y}{\left( 4-y \right)}=\mathop{\int }^{}\text{d}x+C

\ln \left| 4-y \right|=x+C

4-y={{\text{e}}^{x+c}}

4-y={{C}_{1}}{{\text{e}}^{x}}

Por tanto, la solución de la ED autónoma es:

4-{{C}_{1}}{{\text{e}}^{x}}=y

Obteniendo diversos valores para C, y graficando, tenemos:

Valores para C Valores de y(x)
-80 4-80 E^-x
-20 4-20 E^-x
-5 4-5 E^-x
-1 4-E^-x
-0.1 4-0.1 E^-x
-0.01 4-0.01 E^-x
-0.001 4-0.001 E^-x
-0.0001 4-0.0001 E^-x
-0.00001 4-0.00001 E^-x
0 4
0.00001 4+0.00001 E^-x
0.0001 4+0.0001 E^-x
0.001 4+0.001 E^-x
0.01 4+0.01 E^-x
0.1 4+0.1 E^-x
1 4+E^-x
5 4+5 E^-x
20 4+20 E^-x
80 4+80 E^-x
ED autónoma

ED autónoma

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED lineal (autónoma): y'+y=4. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “atractor” (OJO: para este caso el punto crítico es un atractor) para el valor de y=4. Las curvas por arriba del punto crítico: y=4, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En este caso las  curvas solución de la ED lineal y'+y=4, que estén por arriba o por debajo del punto crítico o punto de equilibrio: y=4, convergen hacia esta recta horizontal, conforme x\to \infty .

Resolviendo del mismo modo la segunda ED autónoma (\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=y-4), tenemos como resultado:

y={{C}_{1}}{{\text{e}}^{x}}+4

Aún y cuando el resultado es aparentemente el mismo el comportamiento de las curvas solución es diferente,  (puesto que el signo de la pendiente del campo de isóclinas es negativo):

f\left( x,y \right)=4-y , el signo de y es negativo.

f\left( x,y \right)=y-4, el signo de y es positivo.

Por tanto, los valores y la gráfica son:

Valores para C Valores de y(x)
-80 4-80 E^x
-20 4-20 E^x
-5 4-5 E^x
-1 4-E^x
-0.1 4-0.1 E^x
-0.01 4-0.01 E^x
-0.001 4-0.001 E^x
-0.0001 4-0.0001 E^x
-0.00001 4-0.00001 E^x
0 4
0.00001 4+0.00001 E^x
0.0001 4+0.0001 E^x
0.001 4+0.001 E^x
0.01 4+0.01 E^x
0.1 4+0.1 E^x
1 4+E^x
5 4+5 E^x
20 4+20 E^x
80 4+80 E^x
ED autónoma

ED autónoma

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED lineal (autónoma): y'-y=-4. Donde el valor del “repulsor” es y=4.

En este caso, nuevamente, las  curvas solución de la ED lineal y'-y=-4, que estén por arriba o por debajo del punto crítico o punto de equilibrio: y=4, se alejan de esta recta horizontal, conforme x\to \infty .

En general una ED autónoma es una ED ordinaria en la               que la variable independiente no aparece. Este tipo de ecuación es de la forma:

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( y \right)

Es importante practicar los ejercicios para adquirir destreza, yo te propongo que construyas 3 ED autónomas y las grafiques para afirmar el conocimiento. Para tal efecto, te dejo el código del software mathematica, que te permitirá realizar las gráficas. Suerte.

s1=DSolve[y'[x]-y[x]==Š-4,y[x],x]
tp=Table[Evaluate[s1[[1,1,2]]/.C[1]-->i],{i,{-80,-20,-5,-1,-0.3,-0.1,-0.03,-0.01,-0.003,-0.001,-0.0003,-0.0001,-0.00003,-0.00001,-0.000003,0,0.000003,0.00001,0.00003, 0.0001,0.0003,0.001,0.003,0.01,0.03,0.1,0.3,1,5,20,80}}];
tf2=Table[{i,Evaluate[s1[[1,1,2]]/.C[1]-->i]},{i,{-80,-20,-5,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,0,0.00001, 0.0001,0.001,0.01,0.1,1,5,20,80}}];
TableForm[tf2,TableHeadings-->{None,{"Valores para C","Valores de y(x)"}},TableAlignments-->Left]
Plot[Tooltip[tp],{x,-10,10},PlotRange-->{-2,8}, Frame-->True]
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4 pensamientos en “Ecuación Diferencial Lineal autónoma

    • Hola Jon:
      Supongo que te faltó una “x”, en el primer miembro de la ecuación, es decir:
      \displaystyle y\ln (x)\left( \frac{dx}{dy} \right)={{\left( \frac{y+1}{x} \right)}^{2}}
      Si es el caso procede como sigue:
      (1) Separas variables
      \displaystyle {{x}^{2}}\ln (x)dx=\frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}dy
      (2) Integras por partes el miembro izquierdo de la ecuación y el derecho utilizas algebra:
      \displaystyle \int{{{x}^{2}}\ln (x)dx=\int{\frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}}}dy+C

      Lado izquierdo:
      \displaystyle u=\ln (x) ; \displaystyle dv={{x}^{2}}dx
      \displaystyle du=\frac{1}{x} ; \displaystyle dv={{x}^{2}}dx
      Por lo que la integración del lado izquierdo es:
      \displaystyle \int{{{x}^{2}}\ln (x)dx=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln (x)-\int{\frac{{{x}^{2}}}{3}}}dx

      Lado Derecho (utilizas álgebra para simplificar la integración):
      \displaystyle \frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}=\frac{{{y}^{2}}+2y+1}{y}=y+2+\frac{1}{y}
      Entonces:
      \displaystyle \int{\frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}}dy=\int{(y+2+\frac{1}{y})dy}
      Por ultimo:
      \displaystyle \int{(y+2+\frac{1}{y})dy}+C=\int{ydy+2\int{dy}+\int{\frac{1}{y}dy+C}}
      \displaystyle \int{ydy+2\int{dy}+\int{\frac{1}{y}dy+C}}=\frac{{{y}^{2}}}{2}+2y+\ln (y)+C

      De donde el resultado es:
      \displaystyle \frac{{{x}^{3}}}{3}\ln (x)-\frac{1}{9}{{x}^{3}}=\frac{{{y}^{2}}}{2}+2y+\ln (y)+C

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