¿Qué significa el Teorema de Existencia y Unicidad para una ED Ordinaria de Primer Orden?

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En este artículo aprenderás cómo interpretar el Teorema de Existencia de una solución única aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED), de manera gráfica, clara y sencilla.

Podrás identificar los 3 casos particulares que se pueden presentar al obtener las soluciones de una ED Ordinaria de primer orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad.

Este es un ejercicio resuelto basado de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 39).

Analice el siguiente razonamiento y utilice el Teorema de la existencia y unicidad de una solución, para determinar si el problema con valores iniciales (PVI), tiene o no una solución única en los siguientes tres casos.

PVI:  x{{y}^{\prime }}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}} y las condiciones dadas:

a). y\left( 0 \right)=0

b). y\left( 0 \right)={{y}_{0}},{{y}_{0}}>0

c). y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}, {{x}_{0}}>0,{{y}_{0}}>0

Primero enunciamos el Teorema:

Teorema de Existencia y Unicidad de una Solución

Supóngase que tanto la función f\left( x,y \right) y su derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}son continuas en algún rectángulo Ren el plano xy que contiene el punto \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) en su interior. Entonces, para algún intervalo abierto I conteniendo el punto {{x}_{0}}, el problema del valor inicial

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right) , y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}

Tiene una y solo una solución que está definida en el intervalo I. (Como se ilustra en la figura 1, el intervalo de solución  Ipuede no ser tan “ancho “en continuidad como el rectángulo original R).

Para determinar la existencia y unicidad de una solución de una Ecuación diferencial, podemos tomar diferentes caminos, algunos autores los clasifican en: Concepción Geométrica, Concepción Numérica, Concepción analítica, Concepción topológica.

Aquí desarrollaremos la concepción analítica y la visualización del concepto y posteriormente haremos un desarrollo numérico y geométrico en otro artículo.

Según el Teorema, si las funciones f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son continuas en algún intervalo R  que contenga al punto considerado como valora inicial de una ED Ordinaria de Primer Orden (es decir, el punto ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) que se muestra en el enunciado del teorema como: y({{x}_{0}})={{y}_{0}}), entonces se encontrará una solución para la ED Ordinaria de Primer Orden, la cual será única y se alojará en in intervalo I, que puede no ser tan grande como el intervalo R, pero que también contiene al punto ({{x}_{0}},{{y}_{0}}).

Por tanto, calculemos dichos valores y grafiquémoslos.

Primero calculamos f(x,y)  y \frac{\partial f}{\partial y} y graficamos para analizar la existencia y unicidad de la solución para el problema que queremos resolver.

De la forma estándar obtenemos f(x,y) y derivando esta ecuación encontraremos \frac{\partial f}{\partial y}.

De esta forma, tenemos:

x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}, la cual escrita en forma estándar, es:&s=3\displaystyle

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}} ,

De la forma estándar \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) vemos que:

P\left( x \right)=-\frac{4}{x}

Y

 f\left( x \right)={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}},

Entonces, para nuestro análisis y según el Teorema de existencia y unicidad, si:

f\left( x,y \right)=P\left( x \right)y+f\left( x \right) (del despeje de la eq. ) ;

\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial (-P(x)y+f(x))}{\partial y}, son continuas en algún rectángulo R, entonces existe una solución única para el problema de valores iniciales).

De donde:

f\left( x,y \right)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}} ,

Y

\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4}{x}=-P\left( x \right)

Para recordar cómo determinar la continuidad de una función de dos variables seguir el siguiente enlace: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES :f(x,y).

Ahora, graficando ambas curvas, en los INTERVALOS ABIERTOS (-\infty ,\infty ) y (0,\infty ), tenemos: Sigue leyendo

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