Circuito electrico tipo RC conectado en serie

Aplicación de una Ecuación Diferencial a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo RC

 

Leyendo éste artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a uncircuito eléctricotipoRCconectado en serie, y

resolverás, utilizando un método paso a paso.

Pueden ver este mismo ejercicio desarrollado con mejor detalle en el siguiente link: Ecuaciones Diferenciales para circuitos Eléctrcios. Circuitos RC en serie.

PROBLEMA

Se aplicaunafuerzaelectromotriz de 100V a uncircuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de 10^{- 4} farads. Determine la cargaq ( t) del capacitor, siq ( 0) = 0. Encuantre la corriente i ( t). El circuito está descrito en la Figura 1.

circuitoRC2

Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la carga q ( t), tenemos:

R \frac{d q}{d t} + \frac{1}{c} q = E ( t) (1)

 

Solución para encontrar la carga del circuito RC en serie

Sustituyendo los valores de (1) según la Figura 1, tenemos:

200 \frac{d q}{d t} + \frac{1}{1 \times 10^{- 4}} q = 100 (2)

Resolviendo la ecuación (2) por el método de los 4 pasos:

I. Forma estándar:

\frac{d y}{d x} + P ( x) y = g ( x)Esto implica:\frac{d q}{d t} + 50 q =\frac{1}{2}

II. Factor Integrante:

e^{\int P ( x) d x}Esto implica:e^{\int 50 d t}e^{50 \int d t}e^{50 t}

III. Forma de la solución:

y = y_c + y_pEsto es: 

 

q ( t) = q{tr} ( t) + q{ps} ( t)

y_c = C e^{ -\int P ( x) d x}Esto es:q {tr}_{} ( t) = C e^{-\int 50 d t}q {tr} ( t) = C e^{- 50 t}

Donde: q {tr} es la carga transitoria del capacitor en el circuito RC en serie.

y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}} \int e^{\int P ( x) d x} f ( x) d xq s ( t) = \frac{1}{e^{50 t}} \int e^{50 t} \ast \frac{1}{2} d  tq s ( t) = \frac{1}{2 \ast 50 \ast e^{50 t}} \int e^{50 t}  ( 50) d tq s ( t) = \frac{1}{100 \ast e^{50 t}} \int e^{50 t} ( 50)  d tq s ( t) = \frac{1}{100} \ast e^{- 50 t} [ e^{50 t}]q s ( t) = \frac{1}{100}

Donde: q s es la carga estacionaria del capacitor. Por tanto la carga (total en el circuito), buscada es:

q ( t) = q {tr} ( t) + q s ( t) 

= C e^{- 50 t} + \frac{1}{100}

(7)

Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales q ( 0) = 0, es decir cuando el tiempo t es 0 la carga $laex q$ en el capacitor es 0 tambien (como en un circuito abierto). Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4), tenemos:

q ( t) = C e^{- 50 t} + \frac{1}{100}0=C e^{- 50 ( 0)} + \frac{1}{100}

 

0=C ( 1) + \frac{1}{100}

 

0=C + frac{1}{100}

Esto implica que:

C = - \frac{1}{100}

De donde la Carga en el capacitor buscada es:

q ( t) = - \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} (8)

Graficación de la carga encontrada.

La gráfica resultante se muestra en la Figura 2.

circuitoRC_cargaCap

Figura 2. Carga en el Capacitor

Obteniendo la corriente i ( t), del circuito RC en serie

El dasarrollo de esta parte lo puedes ver en el siguiente link: Ecuaciones Diferenciales para circuitos Eléctrcios. Circuitos RC en serie.

La gráfica de la corriente en el circuito se muestra en la Figura 3.

circuitoRC_corrCirc

Figura 3. Corriente en el circuito RC

La conclusión más importante, tal vez, es notar que cuando el capacitor se carga, mientras el voltaje suministra corriente al circuito, es decir, mientras t \rightarrow \infty, la corriente total tiende a cero, es decir i ( t) \rightarrow 0, lo cual se hace evidente al comparar las figuras 2 y 3.

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