¿Cómo encontrar el Intervalo de Solución de un PVI?

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor inicial:

a)      \left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x,             y(1)=10

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 29).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que f(x) , es una constante.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}={{e}^{\ln (x+1)}}

=\text{x}+1

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=\frac{1}{x+1} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}

=C{{e}^{-\ln (x+1)}}

=C{{e}^{-\ln (x+1)}}

=C{{e}^{\ln {{(x+1)}^{-1}}}}

=C{{(x+1)}^{-1}}

=\frac{C}{(x+1)}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de x=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=10 , de modo que:

Sustituyendo en:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}

Tenemos:

10=\frac{C}{1+1}~\Rightarrow ~~C=\left( 2 \right)10~\Rightarrow C=20

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x+1} y la solución particular  {{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}

La función {{y}_{c}}=\frac{C}{x+1} , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-1<x<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{y}_{c1}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-1<x<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. El valor de C=20 , para la solución particular del PVI \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0y(1)=10. Ver de dónde sale el dominio de la función solución del PVI, analizando cada gráfica que ésta contiene, al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es Sigue leyendo

Intervalo de solución para un Problema del Valor Inicial (PVI) de una ED lineal

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor Inicial:

a)      \frac{dT}{dt}=k(T-Tm),             T(0)={{T}_{0}}

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 28).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que  , es una constante.

\frac{dT}{dt}+P\left( t \right)T=f(t)

\frac{dT}{dt}-kT=-k{{T}_{m}}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( t \right)\mathbf{dt}}},  

El valor de P(t) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}} , es: P\left( t \right)=-k.

{{e}^{-k\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{-kt}}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dT}{dt}-kT=0. Sustituimos en {{T}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}, donde: P\left( t \right)=-k encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{T}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{T}_{c}}=C{{e}^{(-)-k\mathop{\int }^{}dt}}

=C{{e}^{kt}}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }T={{T}_{0}} , de modo que:

Sustituyendo en:

{{T}_{c}}=C{{e}^{kt}}

Tenemos:

{{T}_{0}}=C{{e}^{k(0)}}~\Rightarrow ~~{{T}_{0}}=C\left( 1 \right)~~\Rightarrow ~~C={{T}_{0}}

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{T}_{c1}}={{T}_{0}}{{e}^{kt}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{T}_{c}}=C{{e}^{kt}} y la solución particular  {{T}_{c1}}={{T}_{0}}{{e}^{kt}}

La función {{T}_{c}}=C{{e}^{kt}} , tiene como dominio el intervalo: {{D}_{{{T}_{c}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{T}_{c1}}={{T}_{0}}{{e}^{kt}}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{T}_{c1}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a T(t), dentro del rango que estemos analizando. El valor de C={{T}_{0}} , para la solución particular del PVI \frac{dT}{dt}=kTT(0)={{T}_{0}}. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dT}{dt}-kT=-k{{T}_{m}}. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{T}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}={{e}^{-kt}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( t \right)=-k{{T}_{m}} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{T}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-kt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-kt}}(-k{{T}_{m}})dt

=\frac{{{T}_{m}}}{{{e}^{-kt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-kt}}(-k)dt

=\frac{{{T}_{m}}}{{{e}^{-kt}}}[{{e}^{-kt}}]

={{T}_{m}}

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

t=0;~~~~~~T={{T}_{0}}

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

T\left( t \right)=C{{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
T\left( 0 \right)={{T}_{0}}

Tenemos:

{{T}_{0}}=C{{e}^{k(0)}}+{{T}_{m}}

\Rightarrow {{T}_{0}}=C(1)+{{T}_{m}}

\Rightarrow C={{T}_{0}}-{{T}_{m}}

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

T\left( t \right)=C{{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

y la solución particular del PVI:
T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

El dominio de la solución T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}} está en el intervalo: {{D}_{i(t)}}:-\infty <t<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (\frac{dT}{dt}=k(T-Tm),   T(0)={{T}_{o}} ), es el intervalo: (-\infty ,\infty ). Notar que el valor de C={{T}_{0}}-Tm , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: \frac{dT}{dt}=k(T-Tm), T(0)={{T}_{0}}, es,

T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ t\in R|-\infty <t<\infty \right\}

Para analizar el comportamiento de dos casos particulares de variación de T(t), con respecto del tiempo, mostramos las siguientes tablas y gráficas.

Sistema representado por:  T\left( t \right)=25{{\text{e}}^{-2t}}

En esta gráfica podemos ver que mientras t\to \infty , T\left( t \right)\to 0. Se trata de un proceso de descongelamiento y la temperatura se tiende a estabilizar, en este caso a CERO, por tratarse de un sistema Homogéneo; hablando de sistemas físicos representados mediante Ecuaciones Diferenciales,  cuando la función f\left( x \right)=0, se refiere, en general a que no existen factores externos al sistema que lo modifiquen.  Veamos el siguiente ejemplo:

Sistema representado por: T\left( t \right)={{\text{e}}^{-2t}}(-3+28{{\text{e}}^{2t}})

En este ejemplo el sistema recibe los efectos del medio ambiente al involucrarse la variable Tm=28. Notar que f\left( x \right)=-kTm, en la ecuación original: \frac{dT}{dt}=k(T-Tm). En este caso, el sistema incrementa su temperatura cuando “t” aumenta. La temperatura de estabilidad es Tm=28. Esto se puede ver más claro en la gráfica de “Campo de direcciones”

Ecuación Diferencial lineal Homogenea y su sistema no homogeneo

ED lineales homogéneas y sistemas no homogéneos de 1er orden

Con el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 24). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

({{x}^{2}}-1)\frac{dy}{dx}+2y={{(x+1)}^{2}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{{{(x+1)}^{2}}}{(x-1)(x+1)}

\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{x+1}{x-1}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Sustituimos el valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, P(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}. El desarrollo de la las fracciones parciales se muestra al final del ejercicios, así como las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes.

{{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}[\frac{1}{2\left( x-1 \right)}-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}]dx}}

={{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{2\left( x-1 \right)}-2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{2\left( x+1 \right)}}}

={{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{dx}{\left( x-1 \right)}-\mathop{\int }^{}\frac{dx}{\left( x+1 \right)}}}

={{e}^{\ln |x-1|-\ln |x+1|}}

={{e}^{\ln \frac{|x-1|}{|x+1|}}}

=\frac{x-1}{x+1}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=0. Sustituimos en la fórmula: {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, los valores de P(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Notar que el resultado de {{y}_{c}}, es el recíproco del factor integrante multiplicado por C. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}

=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}[\frac{1}{2\left( x-1 \right)}-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}]dx}}

=C{{e}^{-\ln \left| x-1 \right|+\ln |x+1|}}

=C{{e}^{\ln \frac{|x+1|}{|x-1|}}}

=C\frac{x+1}{x-1}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=C\frac{x+1}{x-1}

Se puede ver una solución particular {{y}_{c1}}=\frac{2(x+1)}{x-1} donde C=2. Notar que la función {{y}_{c}}=C\frac{x+1}{x-1}  , tiene como dominio más largo el intervalo: 1<x<\infty . Sin embargo, debido a la no definición de la gráfica en -1<x<1, se puede tomar este intervalo para hacer evidente esta no definición. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (1~,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{x+1}{x-1}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{x-1}{x+1} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{x+1}{x-1} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{x+1}{\text{x}-1}\mathop{\int }^{}\frac{x-1}{x+1}(\frac{x+1}{x-1})dx

=\frac{x+1}{\text{x}-1}\mathop{\int }^{}dx

=\frac{x+1}{\text{x}-1}[x]

=\frac{x(x+1)}{\text{x}-1}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C(x+1)}{x-1}+\frac{x(x+1)}{x-1}

Se puede ver una solución particular \text{y}\left( \text{x} \right)=\frac{(x+1)(2+x)}{x-1},

Donde: C=2. Nuevamente notar que la función y=\frac{C(x+1)}{x-1}+\frac{x(x+1)}{x-1} , tiene como dominio el intervalo: (-1,1) y como dominio. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial ({{x}^{2}}-1)\frac{dy}{dx}+2y={{(x+1)}^{2}}, es:

y=\frac{(c+x)(x+1)}{x-1}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-1<x<1 \right\}

Recordar:

Fraciones parciales

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}

=A\left( x+1 \right)+B(x-1)

=Ax+A+Bx-B

=(A+B)x+A-B

Igualando los términos semejantes de la derecha con los de la izquierda.

No hay términos en “x” así que:

A+B=0 \Rightarrow A=-B

Para las variables A, B solas, está el “1”

A-B=1  \Rightarrow A=1+B

Por tanto:

-B=1+B

2B=-1

B=-\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{1}{2}

De donde:

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}-\frac{\frac{1}{2}}{x+1}

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y
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Ecuacion Diferencial lineal de primer orden, homogenea y no homogenea

ED lineales de 1er orden

Con el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 23). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

x\frac{dy}{dx}+\left( 3x+1 \right)y={{e}^{-3x}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de \frac{dy}{dx}, que es “x”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Para esto sustituimos el valor de P\left( x \right)dxen {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}},   donde:P(x)=2x-1. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}={{e}^{3\mathop{\int }^{}dx+\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

={{e}^{3x+\ln x}}

=\text{x}{{e}^{3x}}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=0 . Para resolverla sustituimos en la fórmula: {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, los valores de P(x)=\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}

=C{{e}^{-3\mathop{\int }^{}dx-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

=C{{e}^{-3x-\ln x}}

=C{{e}^{-3x+\ln {{x}^{-1}}}}

=C{{x}^{-1}}{{e}^{-3x}}

=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}

Se puede ver una solución particular {{y}_{c1}}=-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x} donde C=-{{e}^{\frac{3}{2}}}. Notar que la función
{{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x} , tiene como dominio más largo el intervalo: 0<x<\infty . El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (0~,\infty ), aunque el intervalo para la función es: y:\{x\in \mathbb{R}-\left( 0 \right)\}, o dicho de otra forma más sencilla, el valor de la función y, es: \left( -\infty ,0 \right);(0,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: \frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( x \right)dx}}=\text{x}{{e}^{3x}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3x}}}{x} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{3x}}(\frac{{{e}^{-3x}}}{x})dt

=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}dx

=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}[x]

={{e}^{-3x}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}

Se puede ver una solución particular y\left( x \right)={{\text{e}}^{-3x}}-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}-\frac{{{\text{e}}^{-3x}}}{2x}, Donde: C=-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{3}{2}}}. Nuevamente notar que la función y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}} , tiene como dominio el intervalo (más largo): 0<x<\infty . Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}, es:

y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}

Con intervalo de solución:

\large I:\left\{ x\in R|0<x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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