Intervalo y solución del problema de valores iniciales (PVI)

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor inicial:

a)      {{y}^{'}}+\left( \tan x \right)y={{\cos }^{2}}x,             y\left( 0 \right)=-1

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 30).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que f(x) , es una constante.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=\tan x.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\tan xdx}}={{e}^{-\ln (\cos x)}}

={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}

={{(\cos x)}^{-1}}

=\frac{1}{\cos x}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=\tan x encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\tan xdx}}

=C{{e}^{(-)-\ln (\cos x)}}

=C{{e}^{\ln (\cos x)}}

=C\cos x

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de x=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=-1 , de modo que:

Sustituyendo en:

{{y}_{c}}=C\cos x

Tenemos:

-1=C\cos 0~\Rightarrow ~~C=~-1

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{y}_{c1}}=-\cos x

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=C\cos x y la solución particular  {{y}_{c1}}=-\cos x

La función {{y}_{c}}=C\cos x , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2} \right\}. Sin embargo, la solución particular {{y}_{c1}}=-\cos x, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{y}_{c1}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <x<\infty \right\}, también. Es decir, la función, solución del Problema de valores iniciales, no tiene el mismo dominio que el de la función, solución general. El valor de C=-1 , para la solución particular del PVI \frac{dy}{dx}+(\tan x)y=0y\left( 0 \right)=-1.Ver gráfica al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{1}{\cos x} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)={{\cos }^{2}}x.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{(\cos x)}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{(\cos x)}^{-1}}({{\cos }^{2}}x)dx

{{y}_{p}}=\cos x\mathop{\int }^{}{{(\cos x)}^{-1}}{{(\cos x)}^{2}}dx

{{y}_{p}}=\cos x\mathop{\int }^{}\cos xdx

{{y}_{p}}=\cos x\sin x

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=0;~~~~~~y=-1

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

y\left( x \right)=C\cos x+\cos x\sin x

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
y\left( 0 \right)=-1

Tenemos:

-1=C\cos 0+\cos 0\sin 0

\Rightarrow -1=C(1)+(1)(0)

\Rightarrow -1=C+0

\Rightarrow C=-1

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y\left( x \right)=C\cos x+\cos x\sin x

y la solución particular del PVI:
y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

El dominio de la solución y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x está en el intervalo: {{D}_{y(x)}}:-\infty <x<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (\frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x,   y\left( 0 \right)=-1), es el intervalo abierto: (-\infty ,\infty ), ver la gráfica anterior para notar la diferencia entre intervalo de solución del PVI e intervalo de la solución general. También, ver gráfica al final del ejercicio. Notar que el valor de C=-1 , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI (sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, y\left( 0 \right)=-1, es,

y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-\infty <x<\infty \right\}

En la siguiente gráfica se ve más claramente la diferencia entre el dominio de la función solución general y el dominio de la solución particular del problema de Valores Iniciales:

Como podemos notar, la función solución (y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x) del Problema de valores iniciales:  ( \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, y\left( 0 \right)=-1), está definida para todo el intervalo (-\infty ,\infty ), aunque la función, solución general, de la Ecuación Diferencial: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, no está definida para los valores múltiplos enteros de \frac{\pi }{2}, o en radianes (como aparece en las gráficas), son los múltiplos de: 1.57079633 radianes.

Por tanto:

Para la solución general, el intervalo de solución es: \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)

Para la solución del PVI, el intervalo de solución es: \left( -\infty ,\infty \right)

Necesitas mas ejemplos:

Revisa este mismo caso con otros valores: Ecuación diferencial, ejercicio del Capítulo 2.3 Problema 17

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Cual es el Intervalo de Solución de un Problema del Valor Inicial.

Método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 27).

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      L\frac{di}{dt}+Ri=E,             i(0)={{i}_{o}}

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de \frac{di}{dt}, que es “L”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.

\frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)

\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,  

El valor de P(t) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}, P(t)=\frac{R}{L}.

{{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0. Sustituimos en {{i}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}, donde: P(t)=\frac{R}{L} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{i}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}

=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}} , de modo que:

Sustituyendo en:

{{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

Tenemos:

{{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}} y la solución particular  {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}

La función {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}} , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{x}_{c}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{x}_{c1}}}}:\left\{ t\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <t<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a i(t), dentro del rango que estemos analizando. El valor de C={{i}_{0}} , para la solución particular del PVI L\frac{di}{dt}+Ri=0i(0)={{i}_{o}}. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}=\frac{R}{L} (obtenido en el punto ii.) y f\left( t \right)=\frac{E}{L} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt

=\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt

=\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]

=\frac{E}{R}

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

t=0;~~~~~~i={{i}_{0}}

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
i\left( 0 \right)={{i}_{0}}

Tenemos:

{{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}

\Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}

\Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

y la solución particular:
i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}

El dominio de la solución i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~ está en el intervalo: {{D}_{i(t)}}:-\infty <t<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (L\frac{di}{dt}+Ri=E,   i(0)={{i}_{o}} ), es el intervalo: (-\infty ,\infty ). Notar que el valor de C={{i}_{0}}-\frac{E}{R} , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: L\frac{di}{dt}+Ri=E, i(0)={{i}_{o}}, es,

i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~

Con intervalo de solución:

I:\left\{ t\in R|-\infty <t<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.

Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.

ED lineal de 1er Orden

Intervalo de definición de la solución del problema del valor inicial

Utilizaremos el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 25). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

xy'+y={{e}^{x}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de \frac{dy}{dx}, que es “x”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, P(x)=\frac{1}{x}. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}

=\text{x}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, donde: P(x)=\frac{1}{x} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

=C{{e}^{-\ln x}}

=C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}

=C{{\text{x}}^{-1}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x}

Mostramos, primero la famila de soluciones del sistema homogéneo asociado {{y}_{c}}=\frac{C}{x}  . Además, mostramos una solución particular {{y}_{c1}}=\frac{2}{x} donde C=2. Notar que la función {{y}_{c}}=\frac{C}{x}  , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:x\in \mathcal{R}-(0,0). Es decir, el dominio de la función abarca todos los reales a excepción del CERO. Sin embargo, decimos que el intervalos más largo de solución de la función es  0<x<\infty , ya que nos referimos a la SOLUCIÓN en sí misma, y esa es una Única curva, en este caso, que no se extiende en todos los reales. Veamos la gráfica siguiente para aclarar más este punto. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo: \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=x (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x} obtenido en el punto i. Observar como la solución particular fue idéntica a f\left( x \right). Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x(\frac{{{e}^{x}}}{x})dx

=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx

=\frac{1}{x}[{{e}^{x}}]

=\frac{{{e}^{x}}}{\text{x}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C}{x}+\frac{{{e}^{x}}}{x}

La solución del sistema no homogéneo, es decir la solución de la ED lineal completa, para el problema del valor inicial (PVI) es:~y\left( x \right)=\frac{2-\text{e}+{{\text{e}}^{x}}}{x}  , Donde: C=2-e. El dominio de la solución está en el intervalo: {{D}_{{{y}_{p}}}}:0<x<\infty . o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: (0,\infty ).

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial xy'+y={{e}^{x}}, es:

y=\frac{C{{e}^{x}}}{x}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|0<x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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Ecuación Diferencial lineal Homogenea y su sistema no homogeneo

ED lineales homogéneas y sistemas no homogéneos de 1er orden

Con el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 24). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

({{x}^{2}}-1)\frac{dy}{dx}+2y={{(x+1)}^{2}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{{{(x+1)}^{2}}}{(x-1)(x+1)}

\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{x+1}{x-1}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Sustituimos el valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, P(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}. El desarrollo de la las fracciones parciales se muestra al final del ejercicios, así como las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes.

{{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}[\frac{1}{2\left( x-1 \right)}-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}]dx}}

={{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{2\left( x-1 \right)}-2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{2\left( x+1 \right)}}}

={{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{dx}{\left( x-1 \right)}-\mathop{\int }^{}\frac{dx}{\left( x+1 \right)}}}

={{e}^{\ln |x-1|-\ln |x+1|}}

={{e}^{\ln \frac{|x-1|}{|x+1|}}}

=\frac{x-1}{x+1}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=0. Sustituimos en la fórmula: {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, los valores de P(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Notar que el resultado de {{y}_{c}}, es el recíproco del factor integrante multiplicado por C. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}

=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}[\frac{1}{2\left( x-1 \right)}-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}]dx}}

=C{{e}^{-\ln \left| x-1 \right|+\ln |x+1|}}

=C{{e}^{\ln \frac{|x+1|}{|x-1|}}}

=C\frac{x+1}{x-1}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=C\frac{x+1}{x-1}

Se puede ver una solución particular {{y}_{c1}}=\frac{2(x+1)}{x-1} donde C=2. Notar que la función {{y}_{c}}=C\frac{x+1}{x-1}  , tiene como dominio más largo el intervalo: 1<x<\infty . Sin embargo, debido a la no definición de la gráfica en -1<x<1, se puede tomar este intervalo para hacer evidente esta no definición. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (1~,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dy}{dx}+\frac{2}{{{x}^{2}}-1}y=\frac{x+1}{x-1}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{x-1}{x+1} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{x+1}{x-1} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{x+1}{\text{x}-1}\mathop{\int }^{}\frac{x-1}{x+1}(\frac{x+1}{x-1})dx

=\frac{x+1}{\text{x}-1}\mathop{\int }^{}dx

=\frac{x+1}{\text{x}-1}[x]

=\frac{x(x+1)}{\text{x}-1}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C(x+1)}{x-1}+\frac{x(x+1)}{x-1}

Se puede ver una solución particular \text{y}\left( \text{x} \right)=\frac{(x+1)(2+x)}{x-1},

Donde: C=2. Nuevamente notar que la función y=\frac{C(x+1)}{x-1}+\frac{x(x+1)}{x-1} , tiene como dominio el intervalo: (-1,1) y como dominio. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial ({{x}^{2}}-1)\frac{dy}{dx}+2y={{(x+1)}^{2}}, es:

y=\frac{(c+x)(x+1)}{x-1}

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-1<x<1 \right\}

Recordar:

Fraciones parciales

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}

=A\left( x+1 \right)+B(x-1)

=Ax+A+Bx-B

=(A+B)x+A-B

Igualando los términos semejantes de la derecha con los de la izquierda.

No hay términos en “x” así que:

A+B=0 \Rightarrow A=-B

Para las variables A, B solas, está el “1”

A-B=1  \Rightarrow A=1+B

Por tanto:

-B=1+B

2B=-1

B=-\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{1}{2}

De donde:

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}-\frac{\frac{1}{2}}{x+1}

\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y
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Ecuacion Diferencial lineal de primer orden, homogenea y no homogenea

ED lineales de 1er orden

Con el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 23). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

x\frac{dy}{dx}+\left( 3x+1 \right)y={{e}^{-3x}}

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de \frac{dy}{dx}, que es “x”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Para esto sustituimos el valor de P\left( x \right)dxen {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}},   donde:P(x)=2x-1. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}={{e}^{3\mathop{\int }^{}dx+\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

={{e}^{3x+\ln x}}

=\text{x}{{e}^{3x}}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=0 . Para resolverla sustituimos en la fórmula: {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, los valores de P(x)=\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}

=C{{e}^{-3\mathop{\int }^{}dx-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}

=C{{e}^{-3x-\ln x}}

=C{{e}^{-3x+\ln {{x}^{-1}}}}

=C{{x}^{-1}}{{e}^{-3x}}

=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}

Se puede ver una solución particular {{y}_{c1}}=-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x} donde C=-{{e}^{\frac{3}{2}}}. Notar que la función
{{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x} , tiene como dominio más largo el intervalo: 0<x<\infty . El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (0~,\infty ), aunque el intervalo para la función es: y:\{x\in \mathbb{R}-\left( 0 \right)\}, o dicho de otra forma más sencilla, el valor de la función y, es: \left( -\infty ,0 \right);(0,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: \frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( x \right)dx}}=\text{x}{{e}^{3x}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3x}}}{x} obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{3x}}(\frac{{{e}^{-3x}}}{x})dt

=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}dx

=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}[x]

={{e}^{-3x}}

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}

Se puede ver una solución particular y\left( x \right)={{\text{e}}^{-3x}}-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}-\frac{{{\text{e}}^{-3x}}}{2x}, Donde: C=-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{3}{2}}}. Nuevamente notar que la función y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}} , tiene como dominio el intervalo (más largo): 0<x<\infty . Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}, es:

y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}

Con intervalo de solución:

\large I:\left\{ x\in R|0<x<\infty \right\}

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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Ecuación Lineal. Zill Capítulo 2.3 (prob 22)

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 22)

\frac{dP}{dt}+2tP=P+4t-2

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

\frac{dP}{dt}+Q\left( t \right)y=f(t)

\frac{dP}{dt}+2tP-P=4t-2

\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=4t-2

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( t \right)\mathbf{dt}}},  

Para esto sustituimos el valor de Q(t) en {{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}},   donde:Q(t)=2t-1. Tener cuidado de no confundir la solución general P(t), del problema con la P\left( t \right)=P(x), de la fórmula general, aquí le hemos puesto Q(x) al coeficiente del segundo término para evitar este problema. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

{{e}^{\mathop{\int }^{}(2t-1)dt}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}tdt-\mathop{\int }^{}dt}}

={{e}^{{{t}^{2}}-t}}

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=0 . Para resolverla sustituimos en la fórmula: {{P}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}, los valores de Q(t)=(2t-1), encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{P}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{\text{P}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\left( 2t-1 \right)dt}}

=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}tdt+\mathop{\int }^{}dt}}

=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{P}_{c}}=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}

Se puede ver una solución particular {{P}_{c1}}=-3{{\text{e}}^{t-{{t}^{2}}}} donde C=1-3\pi . Notar que la función
{{P}_{c}}=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}} , tiene como dominio más largo el intervalo: -\infty <x<\infty . El intervalo más largo de definición de UNA solución es: (-\infty ~,\infty ). El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: \frac{dP}{dt}+(2t-1)P=4t-2, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{P}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}f(t)dt, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}={{e}^{{{t}^{2}}-t}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( t \right)=4t-2 obtenido en el punto i. Observe que la integral: \mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(4t-2)dt , pudo haberse dividido en dos (4\mathop{\int }^{}t{{e}^{{{t}^{2}}-t}}+2\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}dt), e integrarse por partes, pero el procedimiento sería unos pasos más largos. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{P}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(4t-2)dt

=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}2\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(2t-1)dt

=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}2[{{e}^{{{t}^{2}}-t}}]

=2

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2

Se puede ver una solución particular P\left( t \right)=2-5{{\text{e}}^{t-{{t}^{2}}}},

Donde: C=-5. Nuevamente notar que la función P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2 , tiene como dominio el intervalo (más largo): (-\infty ,\infty ) . Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial \frac{dP}{dt}+2tP=P+4t-2, es:

P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2

Con intervalo de solución:

\large I:\left\{ x\in R|-\infty <x<\infty \right\}

Recordar:Logaritmos y exponenciales

a\ln x=\ln {{x}^{a}}

Debido a que:

y={{e}^{x}}implica  x=\ln y y además \ln y={{\log }_{e}}y recordamos que la función x={{\log }_{e}}y, es inversa de y={{e}^{x}}, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

\ln y=\ln {{e}^{x}}=x   y

{{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y

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