Ecuacion Diferencial: solución expresada con la función Error

Como utilizar la función error \text{e}rf\left( x \right) , para expresar una solución o función que incluya una integral no elemental.

Al finalizar  el artículo podrás utilizar y entender fácilmente cómo implementar la función error para expresar funciones con integrales no elementales.

La utilidad de ésta función (error) es despejar nuestra función de salida de la integral no elemental; esto lo logramos mediante recordar que:

\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\sqrt{\pi }

Lo cual sabemos del cálculo multivariable y que podemos integrar utilizando integrales dobles y un cambio de variables a coordenadas polares para comprobar, siga este link.

De modo que si tomamos la mitad de la función en 1, tenemos:

\frac{\sqrt{\pi }}{2}=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x

Por tanto, utilizando la propiedad de la unión de intervalos:

\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}

\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\left( \underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-t}}\text{d}{{t}^{2}} \right)=1

=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=1

De donde:

\text{e}rf\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

\text{e}rfc\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

Una opción alterna para relacionar la ecuación (2) con las integrales no elementales, es:

\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{dx} es equivalente a \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

Donde, habiendo considerado la veracidad de la ecuación (2), solo reataría comprobar que:

\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}

Una vez explicado brevemente (y de una manera para invocar la intuición) el origen de la función error, procedemos igual que siempre a solucionar nuestra ED lineal por medio de los 4 pasos:

Tenemos:

Encontrar la solución del PVI:

{{y}^{\prime }}-2xy=1,        y\left( 1 \right)=1

Buscamos:

Solución en términos de la función error.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 37).

Pasos:

I. Forma estándar de la ED a resolver: \frac{\text{d}y}{\text{d}x}+p\left( x \right)y=f(x)

 \frac{\text{d}y}{\text{d}x}-2xy=1

II. Encontramos el factor integrante: {{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}},          P\left( x \right)=2x

{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}={{\text{e}}^{-2\mathop{\int }^{}x\text{d}x}}={{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:\frac{\text{dy}}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=0{{y}_{C}}=C{{\text{e}}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}               (Ecuaciones Generales)

{{y}_{c}}={{C}_{1}}{{\text{e}}^{2\mathop{\int }^{}x\text{d}x}}

={{C}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=f\left( x \right),                      {{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}p\left( x \right)\text{d}x}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}f\left( x \right)\text{d}x   (Ecuaciones Generales)

\displaystyle {{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\left( 1 \right)\text{d}x

={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x

Por tanto, la solución del PVI es: y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

y={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x

Utilizamos ahora la función error y el Teorema Fundamental del Cálculo:

\int{{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}}=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t                 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Por tanto, considerando la ecuación (4) y despejando la integral no elemental, tenemos:

\text{e}rf\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

\Rightarrow \frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

Por tanto, La solución del PVI en términos de la función error, es:

{{y}_{p}}={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t

={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\left[ \frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( x \right) \right]=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

{{y}_{c}}={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}

De donde:

y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}

y={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

Sustituyendo los valores iniciales:

Tenemos:

1={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{\left( 1 \right)}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{\left( 1 \right)}^{2}}}}\text{e}rf\left( 1 \right)

\Rightarrow 1={{c}_{1}}\text{e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{ee}rf\left( 1 \right)

\Rightarrow 1=\text{e}\left( {{c}_{1}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( 1 \right) \right)

\Rightarrow \frac{1}{\text{e}}={{c}_{1}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( 1 \right)

\Rightarrow {{c}_{1}}={{\text{e}}^{-1}}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( 1 \right)

De modo que la solución del PVI, es:

y=\left( {{\text{e}}^{-1}}-\sqrt{\frac{\pi }{2}}\text{e}rf\left( 1 \right) \right){{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

y={{\text{e}}^{-1+{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( 1 \right)+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)

Para calcular los valores de la función error en MATHEMATICA podemos utilizar el siguiente código:

Limit[Integrate[Exp[-t^2],{t,0,x}],x--->Infinity]
TableForm[Table[{x,Erf[x]},{x,-1,2,0.05}],
TableHeadings®{None,{"x","Erf(x)"}}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,-10,10}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,-1,1}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,0,2}]

Los valores obtenidos, se muestran en la siguiente tabla:

x

Erf(x)

1

-1

-0.842701

2

-0.95

-0.820891

3

-0.9

-0.796908

4

-0.85

-0.770668

5

-0.8

-0.742101

6

-0.75

-0.711156

7

-0.7

-0.677801

8

-0.65

-0.642029

9

-0.6

-0.603856

10

-0.55

-0.563323

11

-0.5

-0.5205

12

-0.45

-0.475482

13

-0.4

-0.428392

14

-0.35

-0.379382

15

-0.3

-0.328627

16

-0.25

-0.276326

17

-0.2

-0.222703

18

-0.15

-0.167996

19

-0.1

-0.112463

20

-0.05

-0.056372

21

0

0

22

0.05

0.056372

23

0.1

0.112463

24

0.15

0.167996

25

0.2

0.222703

26

0.25

0.276326

27

0.3

0.328627

28

0.35

0.379382

29

0.4

0.428392

30

0.45

0.475482

31

0.5

0.5205

32

0.55

0.563323

33

0.6

0.603856

34

0.65

0.642029

35

0.7

0.677801

36

0.75

0.711156

37

0.8

0.742101

38

0.85

0.770668

39

0.9

0.796908

40

0.95

0.820891

41

1

0.842701

42

1.05

0.862436

43

1.1

0.880205

44

1.15

0.896124

45

1.2

0.910314

46

1.25

0.9229

47

1.3

0.934008

48

1.35

0.943762

49

1.4

0.952285

50

1.45

0.959695

51

1.5

0.966105

52

1.55

0.971623

53

1.6

0.976348

54

1.65

0.980376

55

1.7

0.98379

56

1.75

0.986672

57

1.8

0.989091

58

1.85

0.991111

59

1.9

0.99279

60

1.95

0.994179

61

2

0.995322

Por último, graficamos los valores obtenidos:

Grafica Funcion Error

El intervalo de la gráfica es de -10~\le x\le 10 y su rango -1~\le y\le 2.

Graf Error Function

El intervalo de la gráfica es de -1~\le x\le 1 y su rango -1~\le y\le 2.

Funcion Error

El intervalo de la gráfica es de 0~\le x\le 2 y su rango 0~\le y\le 1.

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Cómo encontrar la solución de un problema de valores iniciales (PVI) para una ED lineal con diferentes funciones de entrada

Cómo encontrar la solución de un PVI, de una ED lineal con una función de entrada con 3 diferentes configuraciones.

En este artículo analizaremos cómo resolver un PVI donde la ED lineal está dividida en partes, pero con una particularidad, que el coeficiente de la segunda Variable de Estado “y” es igual a: P\left( x \right)={{e}^{x}}, con esto tendremos una visión más profunda del significado de la función P\left( x \right), que es el coeficiente de la función de estado y(x), que la ED posee como segundo término del lado izquierdo de la ecuación*.

Utilizaremos los mismos 4 pasos utilizados con anterioridad para hallar la solución de una ED lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES.

Tenemos:

a)      y'+{{e}^{x}}y=4x,             y\left( 0 \right)=1,

\huge f(x)=\left\{\begin{matrix}1,x>0 & \\ 0,x>0 & \\ e^{x},x>0 & \end{matrix}\right.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 36).

PRIMER CASO: Empezamos con f\left( x \right)=1:
y'+{{e}^{x}}y=1
Pasos:
I.                    Forma estándar de la ED a resolver: \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

Solo sustituimos en valor de la función de entrada f(x).

\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1

II.                  Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)={{e}^{x}}.

{{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)={{e}^{x}} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=0

{{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}

={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}} (obtenido en el punto II.) y f\left( x \right)={{e}^{x}}.  obtenido en el punto i.

Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1

{{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{e}^{x}}}}(1)dx

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Utilizando El Teorema Fundamental del Cálculo:

Sea f continua en el intervalo [a,b], y F esté definida dentro del mismo intervalo cerrado [a,b], como:

F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt

Entonces Fes un primitiva de f. Es decir,

{{F}^{'}}\left( x \right)=f(x)

Para xen (a,b)

Siga el link para la demostración:

Teorema Fundamental del Cálculo

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Utilizamos el Teorema Fundamental del Cálculo, para poder lidiar con la integral No Elemental con la que nos hemos topado.

Tenemos:

{{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt

{{y}_{p1}}={{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo:
\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1, donde su función de entrada es igual a: \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1, es:

{{y}_{1}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}+{{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt

Ahora sustituimos los valores iniciales en la función general anterior para encontrar una solución particular

Los valores iniciales, son:

x=0;~~y=1

Tenemos:

{{y}_{1}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}+{{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt

1={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{(0)}}}}+{{e}^{-{{e}^{(0)}}}}\underset{0}{\overset{(0)}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt

\Rightarrow 1={{C}_{1}}{{e}^{-1}}+{{e}^{-1}}(0)

\Rightarrow 1={{C}_{1}}{{e}^{-1}}

\Rightarrow \frac{1}{{{e}^{-1}}}={{C}_{1}}

\therefore {{C}_{1}}=e

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

{{y}_{1}}\left( x \right)={{e}^{1-{{e}^{x}}}}+{{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt

SEGUNDO CASO: f\left( x \right)=0:

Procedemos realizando los mismos 4 pasos para encontrar la solución del sistema No Homogéneo.

Es decir, si tenemos:

y'+{{e}^{x}}y=0

I. Forma estándar de la ED a resolver:

\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=0

II. Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Es el mismo que el anterior:

{{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Es la misma que la anterior:

{{y}_{c2}}={{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

En esta ocasión el sistema es Homogéneo, así que omitimos el buscar el No homogéneo.

Donde su solución general es:

{{y}_{2}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}

De nuevo, sustituimos los valores iniciales en la función general anterior para encontrar una solución particular

Los valores iniciales, son:

x=0;~~~y=1

Tenemos:

{{y}_{2}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}

1={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{(0)}}}}

\Rightarrow 1={{C}_{1}}{{e}^{-1}}

\Rightarrow \frac{1}{{{e}^{-1}}}={{C}_{1}}

\therefore {{C}_{1}}=e

De la misma forma que antes sustituimos  el último resultado en la solución general y encontramos UNA solución particular del sistema Lineal Homogéneo:

{{y}_{2}}\left( x \right)={{e}^{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}

{{y}_{2}}\left( x \right)={{e}^{1-{{e}^{x}}}}

TERCER CASO: f\left( x \right)={{e}^{x}}:

Realizamos el mismo procedimiento de las dos veces precedentes.

Es decir, si tenemos:

y'+{{e}^{x}}y={{e}^{x}}

I. Forma estándar de la ED a resolver:

\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y={{e}^{x}}

II. Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

Es igual a los dos anteriores:

{{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Es la misma que la de los dos casos anteriores:

{{y}_{c3}}={{y}_{c2}}={{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

\frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y={{e}^{x}}

{{y}_{p3}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{e}^{x}}}}({{e}^{x}})dx

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Vemos que en este caso tenemos una derivada directa, ya que:

{{e}^{u}}={{e}^{{{e}^{x}}}}

du={{e}^{x}}dx

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Esto implica:

{{y}_{p3}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}[{{e}^{{{e}^{x}}}}]

\therefore {{y}_{p3}}=1

Donde su solución general es:

{{y}_{3}}\left( x \right)=1

Debemos notar que éste último resultado lo pudimos deducir por inspección, al ver la forma Estándar de la Ecuación Diferencial.

A continuación mostramos las gráficas solución de cada solución particular.

Las Gráficas Sólidas representan el dominio de , el cual es .

Cada gráfica es una FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales.

En esta gráfica podemos ver que en el punto (0,1), todas las soluciones coinciden por lo que todas las soluciones pueden ser consideradas como soluciones válidas para el problema de Valores Iniciales.

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA y FUNCIÓN DE ESTADO acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS (SISTEMAS VARIANTES EN EL TIEMPO).