Intervalo y solución del problema de valores iniciales (PVI)

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor inicial:

a)      {{y}^{'}}+\left( \tan x \right)y={{\cos }^{2}}x,             y\left( 0 \right)=-1

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 30).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que f(x) , es una constante.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=\tan x.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\tan xdx}}={{e}^{-\ln (\cos x)}}

={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}

={{(\cos x)}^{-1}}

=\frac{1}{\cos x}

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=\tan x encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\tan xdx}}

=C{{e}^{(-)-\ln (\cos x)}}

=C{{e}^{\ln (\cos x)}}

=C\cos x

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de x=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=-1 , de modo que:

Sustituyendo en:

{{y}_{c}}=C\cos x

Tenemos:

-1=C\cos 0~\Rightarrow ~~C=~-1

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{y}_{c1}}=-\cos x

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=C\cos x y la solución particular  {{y}_{c1}}=-\cos x

La función {{y}_{c}}=C\cos x , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2} \right\}. Sin embargo, la solución particular {{y}_{c1}}=-\cos x, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{y}_{c1}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-\infty <x<\infty \right\}, también. Es decir, la función, solución del Problema de valores iniciales, no tiene el mismo dominio que el de la función, solución general. El valor de C=-1 , para la solución particular del PVI \frac{dy}{dx}+(\tan x)y=0y\left( 0 \right)=-1.Ver gráfica al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x. Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{1}{\cos x} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)={{\cos }^{2}}x.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{(\cos x)}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{(\cos x)}^{-1}}({{\cos }^{2}}x)dx

{{y}_{p}}=\cos x\mathop{\int }^{}{{(\cos x)}^{-1}}{{(\cos x)}^{2}}dx

{{y}_{p}}=\cos x\mathop{\int }^{}\cos xdx

{{y}_{p}}=\cos x\sin x

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=0;~~~~~~y=-1

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

y\left( x \right)=C\cos x+\cos x\sin x

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
y\left( 0 \right)=-1

Tenemos:

-1=C\cos 0+\cos 0\sin 0

\Rightarrow -1=C(1)+(1)(0)

\Rightarrow -1=C+0

\Rightarrow C=-1

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

y\left( x \right)=C\cos x+\cos x\sin x

y la solución particular del PVI:
y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

El dominio de la solución y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x está en el intervalo: {{D}_{y(x)}}:-\infty <x<\infty . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI (\frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x,   y\left( 0 \right)=-1), es el intervalo abierto: (-\infty ,\infty ), ver la gráfica anterior para notar la diferencia entre intervalo de solución del PVI e intervalo de la solución general. También, ver gráfica al final del ejercicio. Notar que el valor de C=-1 , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI (sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, y\left( 0 \right)=-1, es,

y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x

Con intervalo de solución:

I:\left\{ x\in R|-\infty <x<\infty \right\}

En la siguiente gráfica se ve más claramente la diferencia entre el dominio de la función solución general y el dominio de la solución particular del problema de Valores Iniciales:

Como podemos notar, la función solución (y\left( x \right)=-\cos x+\cos x\sin x) del Problema de valores iniciales:  ( \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, y\left( 0 \right)=-1), está definida para todo el intervalo (-\infty ,\infty ), aunque la función, solución general, de la Ecuación Diferencial: \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x, no está definida para los valores múltiplos enteros de \frac{\pi }{2}, o en radianes (como aparece en las gráficas), son los múltiplos de: 1.57079633 radianes.

Por tanto:

Para la solución general, el intervalo de solución es: \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)

Para la solución del PVI, el intervalo de solución es: \left( -\infty ,\infty \right)

Necesitas mas ejemplos:

Revisa este mismo caso con otros valores: Ecuación diferencial, ejercicio del Capítulo 2.3 Problema 17

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¿Cómo encontrar el Intervalo de Solución de un PVI?

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valor inicial:

a)      \left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x,             y(1)=10

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 29).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que f(x) , es una constante.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}.

{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}={{e}^{\ln (x+1)}}

=\text{x}+1

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0. Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=\frac{1}{x+1} encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

{{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}

=C{{e}^{-\ln (x+1)}}

=C{{e}^{-\ln (x+1)}}

=C{{e}^{\ln {{(x+1)}^{-1}}}}

=C{{(x+1)}^{-1}}

=\frac{C}{(x+1)}

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de x=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=10 , de modo que:

Sustituyendo en:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}

Tenemos:

10=\frac{C}{1+1}~\Rightarrow ~~C=\left( 2 \right)10~\Rightarrow C=20

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

{{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

{{y}_{c}}=\frac{C}{x+1} y la solución particular  {{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}

La función {{y}_{c}}=\frac{C}{x+1} , tiene como dominio más largo el intervalo: {{D}_{{{y}_{c}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-1<x<\infty \right\}. Por tanto, la solución particular {{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}, tiene el mismo dominio: {{D}_{{{y}_{c1}}}}:\left\{ x\in \mathcal{R}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-1<x<\infty \right\}, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. El valor de C=20 , para la solución particular del PVI \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0y(1)=10. Ver de dónde sale el dominio de la función solución del PVI, analizando cada gráfica que ésta contiene, al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es Sigue leyendo