Cómo resolver una Ecuación Diferencial dividida en partes, con valores iniciales

Ecuación diferencial lineal definida por partes

En este ejemplo resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES, y la analizaremos GRÁFICAMENTE.

Con este ejercicio, podremos ver en qué consiste el concepto de Ecuación Diferencial por partes, qué significa gráficamente sus “partes” o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y cómo manipular un Problema con Valores Iniciales (PVI), con una Ecuación Diferencial (ED) (ó sistema lineal), de estas características.

Nuestro ejemplo es:

a)      \frac{dy}{dx}+2y=f(x),             y\left( 0 \right)=0,

\huge f(x)=\left\{\begin{matrix}1,0\leq x\leq 3\\ 0,x> 3\end{matrix}\right.

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace). Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 31).

Empezamos con f\left( x \right)=1:

Pasos:

I.                    Forma estándar de la ED a resolver: \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

Solo sustituimos en valor de la función de entrada.

\frac{dy}{dx}+2y=1

II.                  Encontramos el factor integrante: {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}},  

El valor de P(x) en {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}} , es: P\left( x \right)=2.

{{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{2x}}

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en {{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}, donde: P\left( x \right)=2 encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

\frac{dy}{dx}+2y=0

{{y}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}

=C{{e}^{-2x}}

=\frac{C}{{{e}^{2x}}}

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS donde los nombres adquieren más sentido al hablar de “ENTRADAS y/o SALIDAS”. Acá solo hemos querido integrar la terminología por el hecho de que los Sistemas Dinámicos, son los modelos donde más recurrentemente se utilizan las ecuaciones diferenciales y este tipo de funciones definidas por partes.

Propiamente dicho, un SISTEMA LINEAL consta de las VARIABLES DE ESTADO (variables que en los sistema dinámicos dependen del tiempo “t”), {{y}^{n}}(t),{{y}^{n-1}}(t),\ldots ,{{y}^{2}}(t),{{y}^{1}}(t). Para que un sistema sea Lineal, tiene que cumplir con el Teorema de Superposición.

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx, donde: {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{2}} (obtenido en el punto ii.) y f\left( x \right)=1.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

\frac{dy}{dx}+2y=1

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(1)dx

{{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx

{{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(2)dx

{{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}[{{e}^{2x}}]

{{y}_{p}}=\frac{1}{2}

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: \frac{dy}{dx}+2y=1, donde su función de entrada es igual a: \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1, es:

y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}

Ahora, encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: y\left( 0 \right)=0.

Aplicamos acá los valores iniciales porque la Ecuación Diferencial con f\left( x \right)=1, está definida para el intervalo 0\le x\le 3, que incluye a x=0.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes.

Primero evaluamos cuando f\left( x \right)=1

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

x=0;~~~~~~y=0

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo es:

y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
y\left( 0 \right)=0

Tenemos:

0=\frac{C}{{{e}^{2(0)}}}+\frac{1}{2}

\Rightarrow 0=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}

\Rightarrow 0=C+\frac{1}{2}

\Rightarrow C=-\frac{1}{2}

Por lo que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

y\left( x \right)=-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}

Ahora, resolvemos cuando f\left( x \right)=0

Ahora, Resolvemos el sistema lineal para el segundo valor de su función de entrada, es decir, cuando f\left( x \right)=0 , por lo que tenemos que resolver:

 \frac{dy}{dx}+2y=0,

Podemos notar que en este caso, la ED a evaluar (el sistema lineal), es el sistema homogéneo asociado de la ED anterior (paso III), por lo que sabemos que su solución es:

y(x)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}

Ahora, para conocer la solución particular de la Función de Salida anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: f\left( x \right)=0, no está definida para cuando: x=0, por lo que para evaluar esta función para encontrar una solución particular, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes, donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Tal es el caso en esta ocasión Sigue leyendo