Teorema Fundamental del Cálculo

El segundo Teorema Fundamental del Cálculo es:

Sea la función f continua en el intervalo cerrado [a,b], y sea  una función definida dentro de dicho intervalo [a,b], como:

F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt

Entonces F es una primitiva de f en [a,b]; es decir:

{{F}^{'}}\left( x \right)=f(x)

O, escrito de otra forma:

\frac{d}{dx}[\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt]=f(x)

Para toda “x” que pertenece a (a,b)

La demostración más sencilla que encontré del teorema requiere recordar un teorema más, la definición de derivada y una propiedad de las integrales definidas.

DEMOSTRACIÓN:

Partimos de la definición primera:

F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt

Y encontraremos que la derivada de esta función es igual a f(x), para esto derivamos la expresión anterior:

{{F}^{'}}\left( x \right)=\frac{d}{dx}[\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt]

Y aplicamos la definición de derivada:

{{F}^{'}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{F\left( x+\Delta x \right)-F(x)}{\Delta x}

=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{1}{\Delta x}[\underset{a}{\overset{x+\Delta x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt-\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt]

Por la propiedad de las integrales definidas:

=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{1}{\Delta x}[\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt+\underset{x}{\overset{x+\Delta x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt-\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt]

=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\Delta x}[\underset{x}{\overset{x+\Delta x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt]

Utilizando el Teorema del Valor Medio para Integrales:

=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\Delta x}[f(c)\Delta x]

=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,[\frac{1}{\Delta x}f(c)\Delta x]

=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,[f(c)]

=f(x)

El último resultado se entiende si consideramos que (Ver las gráficas al final)

x\le c\le x+\Delta x

Cuando \Delta x\to 0 entonces c\to x, por tanto:

\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( c \right)=f(x)

De donde obtenemos el resultado buscado:

F'\left( x \right)=f(x)

Necesito una explicación más gráfica(Sigue este enlace, click aquí)

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